Cắt khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ bởi các mặt phẳng $\left( A B^{'} D^{'} \right)$, $\left( C B^{'} D^{'} \right)$, $\left( B^{'} A C \right)$, $\textrm{ } \left( D^{'} A C \right)$ (hình minh họa) ta được khối đa diện có thể tích lớn nhất là

Hai vật nhỏ khối lượng $m_1,m_2=400g$, được nối với nhau bằng một lò xo nhẹ có độ cứng $k=40N/m$. Vật $m_1$ được treo bởi sợi dây nhẹ không giãn. Bỏ qua mọi sức cản. Từ vị trí cân bằng, kéo $m_2$ xuống dưới sao cho lò xo bị giãn một đoạn $\mathrm{17,07}\approx (10+5\sqrt{2})cm$ rồi truyền cho vật vận tốc $v_0$ dọc theo trục lò xo hướng xuống để sau đó $m_2$ dao động điều hòa. Lựa chọn thời điểm cắt dây nối $m_1$ với giá treo thích hợp thì với $v_0$ truyền cho vật, sau khi cắt dây khoảng cách giữa hai vật sẽ luôn không thay đổi. $v_0$ có giá trị gần nhất với giá trị nào.

Cho khối nón tròn xoay đỉnh $S$, đáy là đường tròn tâm $O$, góc ở đỉnh bằng $120 \circ$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ thay đổi, đi qua $S$ và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác $S A B$. Biết rằng giá trị lớn nhất diện tích tam giác $S A B$ là $2 a^{2}$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( Q \right)$ trong trường hợp diện tích tam giác $S A B$ đạt giá trị lớn nhất là

Bạn An định làm một cái hộp quà lưu niệm (không nắp) bằng cách cắt từ một tấm bìa hình tròn bán kính $4 \textrm{ } \text{cm}$ để tạo thành một khối lăng trụ lục giác đều, biết 6 hình chữ nhật có các kích thước là $1 \textrm{ }\textrm{ } \text{cm}$ và $x \textrm{ }\textrm{ } \text{cm}$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích của hộp quà gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$ song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm $O$ bán kính $4 \sqrt{3}$ thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách $h$ giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$ bằng:

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $2 a$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

Một mạch dao động LC gồm tụ điện $C$ có điện dung $200\mu \mathrm{F}$, cuộn dây có hệ số tự cảm $L=\mathrm{0,2}\mathrm{H}$ và điện trở là $R_0=4\mathrm{\Omega }$ và điện trở của dây nối $R=20\mathrm{\Omega }$. Dùng dây nối có điện trở không đáng kể để nối hai cực của nguồn điện một chiều có suất điện động $E=12\mathrm{V}$ và điện trở trong $\mathrm{r}=1\mathrm{\Omega }$ với hai bản cực của tụ điện. Sau khi trạng thái trong mạch đã ổn định người ta cắt nguồn ra khỏi mạch để cho mạch dao động tự do. Tính nhiệt lượng tỏa ra trên R kể từ lúc cắt nguồn ra khỏi mạch đến khi dao động trong mạch tắt hoàn toàn?

Cho khối trụ có hai đáy lần lượt là hình tròn tâm $O , O^{'}$ và chiều cao bằng $\sqrt{2} a$. Một mặt phẳng đi qua tâm $O$, tạo với $O O^{'}$ một góc $\left(30\right)^{@}$ đồng thời cắt hai đường tròn tâm $O , O^{'}$ tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng $2 a^{2}$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

Cho hình trụ có diện tích toàn phần là $4 \pi$ và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Thể tích khối trụ bằng

Trong không gian $O x y z$ cho mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A \left( 0 ; 0 ; - 4 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $a x + b y - z + c = 0$, khi đó $a - b + c$ bằng: