Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #8628

Cho khối nón tròn xoay đỉnh SS, đáy là đường tròn tâm OO, góc ở đỉnh bằng 120∘120 \circ. Mặt phẳng (Q)\left( Q \right) thay đổi, đi qua SS và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SABS A B. Biết rằng giá trị lớn nhất diện tích tam giác SABS A B là 2a22 a^{2}. Khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (Q)\left( Q \right) trong trường hợp diện tích tam giác SABS A B đạt giá trị lớn nhất là

A.  

a22\dfrac{a \sqrt{2}}{2}.

B.  

a32\dfrac{a \sqrt{3}}{2}.

C.  

a2a \sqrt{2}.

D.  

a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}.

Đáp án đúng là: A

Cho khối nón tròn xoay đỉnh SS, đáy là đường tròn tâm OO, góc ở đỉnh bằng 120∘120 \circ. Mặt phẳng (Q)\left( Q \right) thay đổi, đi qua SS và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SABS A B. Biết rằng giá trị lớn nhất diện tích tam giác SABS A B là 2a22 a^{2}. Khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (Q)\left( Q \right) trong trường hợp diện tích tam giác SABS A B đạt giá trị lớn nhất là
A. a22\dfrac{a \sqrt{2}}{2}. B. a32\dfrac{a \sqrt{3}}{2}. C. a2a \sqrt{2}. D. a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}.
Lời giải



Gọi đường sinh của hình nón là ll.
SΔSAB=12SA.SB.sin(ASB)=12l2.sin(ASB)≤12l2S_{\Delta S A B} = \dfrac{1}{2} S A . S B . sin \left( A S B \right) = \dfrac{1}{2} l^{2} . sin \left( A S B \right) \leq \dfrac{1}{2} l^{2}
⇒\Rightarrow ((SΔSAB))max=12l2\left(\left( S_{\Delta S A B} \right)\right)_{max} = \dfrac{1}{2} l^{2}.
Dấu "="" = " xảy ra khi sin(ASB)=1⇔ASB^=90∘sin \left( A S B \right) = 1 \Leftrightarrow \hat{A S B} = 90 \circ ⇔ΔSAB\Leftrightarrow \Delta S A B vuông cân ở S.S .
Do đó SΔSAB=12l2⇔2a2=12l2⇒l=2a.S_{\Delta S A B} = \dfrac{1}{2} l^{2} \Leftrightarrow 2 a^{2} = \dfrac{1}{2} l^{2} \Rightarrow l = 2 a .
Tam giác SABS A B vuông cân ở S⇒AB=SA.2=2a2S \Rightarrow A B = S A . \sqrt{2} = 2 a \sqrt{2}
Góc ở đỉnh của hình nón là 120∘⇒OSA^=60∘120 \circ \Rightarrow \hat{O S A} = 60 \circ.
Xét ΔSOA\Delta S O A vuông ở OO:
.
Kẻ OM⊥ABO M \bot A B ở M.M . Kẻ OH⊥SMO H \bot S M ở HH.
Ta có: .
Mà OH⊥SM⇒OH⊥(SAB)O H \bot S M \Rightarrow O H \bot \left( S A B \right) tại H⇒d(O;(Q))=d(O;(SAB))=OHH \Rightarrow d \left(\right. O ; \left( Q \right) \left.\right) = d \left(\right. O ; \left( S A B \right) \left.\right) = O H.
Ta có AM=MB=a2.A M = M B = a \sqrt{2} .
Xét ΔOAM\Delta O A M vuông ở M⇒OM=OA2−AM2=a.M \Rightarrow O M = \sqrt{O A^{2} - A M^{2}} = a .
Xét ΔSOM\Delta S O M vuông ở OO có OM=SO=aO M = S O = a nên ΔSOM\Delta S O M vuông cân ở O.O .
Mà OHO H là đường cao của tam giác SOMS O M ⇒OH=a22\Rightarrow O H = \dfrac{a \sqrt{2}}{2} ⇒d(O;(Q))=a22\Rightarrow d \left(\right. O ; \left( Q \right) \left.\right) = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}.


 

Câu hỏi tương tự:

#7951 THPT Quốc giaToán

Cho khối nón (N)\left( \text{N} \right) có thể tích bằng 4π4 \pivà chiều cao là 3.Tính bán kính đường tròn đáy của khối nón (N)\left( \text{N} \right).

Lượt xem: 135,218 Cập nhật lúc: 04:23 23/11/2024

#8100 THPT Quốc giaToán

Cho khối nón (N)\left( N \right) có thiết diện qua trục là tam giác đều. Một khối cầu (S)\left( S \right) đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của khối nón. Tỷ số thể tích của khối cầu và thể tích khối nón

Lượt xem: 137,743 Cập nhật lúc: 04:12 25/11/2024

#8971 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=27\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 27. Gọi (α)\left( \alpha \right) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0;0;−4)A \left( 0 ; 0 ; - 4 \right), B(2;0;0)B \left( 2 ; 0 ; 0 \right) và cắt (S)\left( S \right) theo giao tuyến là đường tròn (C)\left( C \right) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S)\left( S \right), là hình tròn (C)\left( C \right) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng (α)\left( \alpha \right) có phương trình dạng ax+by−z+c=0a x + b y - z + c = 0, khi đó a−b+ca - b + c bằng:

Lượt xem: 152,602 Cập nhật lúc: 08:08 23/11/2024

#8372 THPT Quốc giaToán

Cho hình nón đỉnh SS có chiều cao bằng 6.Trên đường tròn đáy lấy hai điểm A,BA , B sao cho khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến dây ABA Bbằng 3, biết diện tích tam giác SABS A B bằng 9109 \sqrt{10}. Tính thể tích khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.

Lượt xem: 142,374 Cập nhật lúc: 00:00 24/11/2024

#8692 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z, cho hai điểm A(2;1;3)A \left( 2 ; 1 ; 3 \right), B(6;5;5)B \left( 6 ; 5 ; 5 \right). Xét khối nón (N)\left( N \right) ngoại tiếp mặt cầu đường kính ABA B có BB là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi SS là đỉnh của khối nón (N)\left( N \right). Khi thể tích khối nón (N)\left( N \right) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh SS và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N)\left( N \right) có phương trình 2x+by+cz+d=02 x + b y + c z + d = 0. Tính T=b+c+dT = b + c + d.

Lượt xem: 147,798 Cập nhật lúc: 13:14 24/11/2024

#11395 THPT Quốc giaToán

Cho hai mặt phẳng (P)\left( P \right)và (Q)\left( Q \right) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm OO bán kính 434 \sqrt{3} thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách hh giữa hai mặt phẳng (P)\left( P \right)và (Q)\left( Q \right) bằng:

Lượt xem: 193,735 Cập nhật lúc: 06:10 23/11/2024

#8360 THPT Quốc giaToán

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 chiều cao bằng 6, một khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón đã cho (như hình vẽ). Khi thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ bằng

Lượt xem: 142,154 Cập nhật lúc: 17:26 24/11/2024

#8189 THPT Quốc giaToán

Cho hình nón (N)\left( N \right) có đỉnh SS, chiều cao h=3h = 3. Mặt phẳng (P)\left( P \right) qua đỉnh SS cắt hình nón (N)\left( N \right)theo thiết diện là tam giác đều. Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng (P)\left( P \right) bằng 6\sqrt{6}. Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón (N)\left( N \right) bằng

Lượt xem: 139,257 Cập nhật lúc: 19:53 24/11/2024

#8843 THPT Quốc giaToán

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4, chiều cao bằng 8. Một khối trụ có bán kính đáy thay đổi và nội tiếp hình nón đã cho (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ đạt giá trị lớn nhất bằng

Lượt xem: 150,394 Cập nhật lúc: 03:11 24/11/2024


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - Sở Giáo Dục Bắc Giang - Lần 1 THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

824 lượt xem 406 lượt làm bài