Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #8628

Cho khối nón tròn xoay đỉnh SS, đáy là đường tròn tâm OO, góc ở đỉnh bằng 120∘120 \circ. Mặt phẳng (Q)\left( Q \right) thay đổi, đi qua SS và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SABS A B. Biết rằng giá trị lớn nhất diện tích tam giác SABS A B là 2a22 a^{2}. Khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (Q)\left( Q \right) trong trường hợp diện tích tam giác SABS A B đạt giá trị lớn nhất là

A.  

a22\dfrac{a \sqrt{2}}{2}.

B.  

a32\dfrac{a \sqrt{3}}{2}.

C.  

a2a \sqrt{2}.

D.  

a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}.

Đáp án đúng là: A

Cho khối nón tròn xoay đỉnh SS, đáy là đường tròn tâm OO, góc ở đỉnh bằng 120∘120 \circ. Mặt phẳng (Q)\left( Q \right) thay đổi, đi qua SS và cắt khối nón theo thiết diện là tam giác SABS A B. Biết rằng giá trị lớn nhất diện tích tam giác SABS A B là 2a22 a^{2}. Khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (Q)\left( Q \right) trong trường hợp diện tích tam giác SABS A B đạt giá trị lớn nhất là
A. a22\dfrac{a \sqrt{2}}{2}. B. a32\dfrac{a \sqrt{3}}{2}. C. a2a \sqrt{2}. D. a62\dfrac{a \sqrt{6}}{2}.
Lời giải



Gọi đường sinh của hình nón là ll.
SΔSAB=12SA.SB.sin(ASB)=12l2.sin(ASB)≤12l2S_{\Delta S A B} = \dfrac{1}{2} S A . S B . sin \left( A S B \right) = \dfrac{1}{2} l^{2} . sin \left( A S B \right) \leq \dfrac{1}{2} l^{2}
⇒\Rightarrow ((SΔSAB))max=12l2\left(\left( S_{\Delta S A B} \right)\right)_{max} = \dfrac{1}{2} l^{2}.
Dấu "="" = " xảy ra khi sin(ASB)=1⇔ASB^=90∘sin \left( A S B \right) = 1 \Leftrightarrow \hat{A S B} = 90 \circ ⇔ΔSAB\Leftrightarrow \Delta S A B vuông cân ở S.S .
Do đó SΔSAB=12l2⇔2a2=12l2⇒l=2a.S_{\Delta S A B} = \dfrac{1}{2} l^{2} \Leftrightarrow 2 a^{2} = \dfrac{1}{2} l^{2} \Rightarrow l = 2 a .
Tam giác SABS A B vuông cân ở S⇒AB=SA.2=2a2S \Rightarrow A B = S A . \sqrt{2} = 2 a \sqrt{2}
Góc ở đỉnh của hình nón là 120∘⇒OSA^=60∘120 \circ \Rightarrow \hat{O S A} = 60 \circ.
Xét ΔSOA\Delta S O A vuông ở OO:
.
Kẻ OM⊥ABO M \bot A B ở M.M . Kẻ OH⊥SMO H \bot S M ở HH.
Ta có: .
Mà OH⊥SM⇒OH⊥(SAB)O H \bot S M \Rightarrow O H \bot \left( S A B \right) tại H⇒d(O;(Q))=d(O;(SAB))=OHH \Rightarrow d \left(\right. O ; \left( Q \right) \left.\right) = d \left(\right. O ; \left( S A B \right) \left.\right) = O H.
Ta có AM=MB=a2.A M = M B = a \sqrt{2} .
Xét ΔOAM\Delta O A M vuông ở M⇒OM=OA2−AM2=a.M \Rightarrow O M = \sqrt{O A^{2} - A M^{2}} = a .
Xét ΔSOM\Delta S O M vuông ở OO có OM=SO=aO M = S O = a nên ΔSOM\Delta S O M vuông cân ở O.O .
Mà OHO H là đường cao của tam giác SOMS O M ⇒OH=a22\Rightarrow O H = \dfrac{a \sqrt{2}}{2} ⇒d(O;(Q))=a22\Rightarrow d \left(\right. O ; \left( Q \right) \left.\right) = \dfrac{a \sqrt{2}}{2}.


 

Câu hỏi tương tự:

#7951 THPT Quốc giaToán

Cho khối nón (N)\left( \text{N} \right) có thể tích bằng 4π4 \pivà chiều cao là 3.Tính bán kính đường tròn đáy của khối nón (N)\left( \text{N} \right).

Lượt xem: 135,247 Cập nhật lúc: 02:33 19/01/2025

#8932 THPT Quốc giaToán

Cho khối nón (N)\left( \text{N} \right) có thể tích bằng 4π4 \pi và chiều cao là 3 . Tính bán kính đường tròn đáy của khối nón (N)\left( \text{N} \right).

Lượt xem: 151,877 Cập nhật lúc: 02:27 19/01/2025

#8100 THPT Quốc giaToán

Cho khối nón (N)\left( N \right) có thiết diện qua trục là tam giác đều. Một khối cầu (S)\left( S \right) đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của khối nón. Tỷ số thể tích của khối cầu và thể tích khối nón

Lượt xem: 137,769 Cập nhật lúc: 00:13 19/01/2025

#8971 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=27\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 27. Gọi (α)\left( \alpha \right) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0;0;−4)A \left( 0 ; 0 ; - 4 \right), B(2;0;0)B \left( 2 ; 0 ; 0 \right) và cắt (S)\left( S \right) theo giao tuyến là đường tròn (C)\left( C \right) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S)\left( S \right), là hình tròn (C)\left( C \right) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng (α)\left( \alpha \right) có phương trình dạng ax+by−z+c=0a x + b y - z + c = 0, khi đó a−b+ca - b + c bằng:

Lượt xem: 152,634 Cập nhật lúc: 22:55 18/01/2025

#8372 THPT Quốc giaToán

Cho hình nón đỉnh SS có chiều cao bằng 6.Trên đường tròn đáy lấy hai điểm A,BA , B sao cho khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến dây ABA Bbằng 3, biết diện tích tam giác SABS A B bằng 9109 \sqrt{10}. Tính thể tích khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.

Lượt xem: 142,405 Cập nhật lúc: 23:16 18/01/2025

#8692 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z, cho hai điểm A(2;1;3)A \left( 2 ; 1 ; 3 \right), B(6;5;5)B \left( 6 ; 5 ; 5 \right). Xét khối nón (N)\left( N \right) ngoại tiếp mặt cầu đường kính ABA B có BB là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi SS là đỉnh của khối nón (N)\left( N \right). Khi thể tích khối nón (N)\left( N \right) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh SS và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N)\left( N \right) có phương trình 2x+by+cz+d=02 x + b y + c z + d = 0. Tính T=b+c+dT = b + c + d.

Lượt xem: 147,810 Cập nhật lúc: 13:01 18/01/2025

#7725 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ toạ độ OxyzO x y z, cho mặt phẳng (P):x+y+z=0\left( P \right) : x + y + z = 0và mặt cầu (S)\left( S \right) có tâm I(0;1;2)I \left( 0 ; 1 ; 2 \right) bán kính R=1R = 1. Xét điểm MM thay đổi trên (P)\left( P \right). Khối nón có đỉnh II và đường tròn đáy là đường tròn đi qua tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ MM đến (S)\left( S \right). Khi (N)\left( N \right) có thể tích lớn nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N)\left( N \right) có phương trình là x+ay+bz+c=0x + a y + b z + c = 0. Giá trị của a+b+ca + b + c bằng

Lượt xem: 131,372 Cập nhật lúc: 18:36 18/01/2025

#11395 THPT Quốc giaToán

Cho hai mặt phẳng (P)\left( P \right)và (Q)\left( Q \right) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm OO bán kính 434 \sqrt{3} thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách hh giữa hai mặt phẳng (P)\left( P \right)và (Q)\left( Q \right) bằng:

Lượt xem: 193,746 Cập nhật lúc: 10:21 18/01/2025

#8308 THPT Quốc giaToán

Cho khối nón có độ dài đường cao h,h , độ dài đường sinh ll và bán kính đáy r.r . Thể tích VV của khối nón được tính theo công thức nào dưới đây?

Lượt xem: 141,267 Cập nhật lúc: 02:35 19/01/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - Sở Giáo Dục Bắc Giang - Lần 1 THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

836 lượt xem 406 lượt làm bài