Cho hai đường tròn $\left( O_{1} ; 5 \right)$ và $\left( O_{2} ; 3 \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A , B$ sao cho $A B$ là một đường kính của đường tròn $\left( O_{2} ; 3 \right)$. Gọi $\left( D \right)$ là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô dấu chấm như hình vẽ). Quay $\left( D \right)$ quanh trục $O_{1} O_{2}$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành.

Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn tâm $O$ và $O^{'}$, chiều cao $h = a \sqrt{3}$. Mặt phẳng đi qua tâm $O$ và tạo với $O O^{'}$ một góc $30 \circ$, cắt hai đường tròn tâm $O$ và $O^{'}$ tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng $3 a^{2}$. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

Cho khối trụ có hai đáy lần lượt là hình tròn tâm $O , O^{'}$ và chiều cao bằng $\sqrt{2} a$. Một mặt phẳng đi qua tâm $O$, tạo với $O O^{'}$ một góc $\left(30\right)^{@}$ đồng thời cắt hai đường tròn tâm $O , O^{'}$ tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng $2 a^{2}$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O ; R \right)$ và $\left( O^{'} , R \right)$, chiều cao $2 R$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm của $O O^{'}$ và tạo với $O O^{'}$ một góc $30 \circ$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt đường tròn đáy $\left( O ; R \right)$ tại hai điểm $A , \textrm{ } B$. Tính độ dài đoạn thẳng $A B$ theo $R$?

Trong mặt phẳng $O x y ,$ cho hai điểm $I \left( - 1 ; 1 \right)$ và $A \left( 3 ; - 2 \right) .$ Đường tròn tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là

Cho hình trụ có tâm hai đường tròn đáy lần lượt là $O$và $O '$, bán kính đáy hình trụ bằng $a$. Trên đường tròn đáy $\left( O \right)$và $\left( O ' \right)$lần lượt lấy hai điểm $A , B$sao cho $A B$tạo với trục của hình trụ một góc $\left(30\right)^{0}$ và có khoảng cách đến trục của hình trụ bằng $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$. Tính thể tíc khối chóp $O . O ' A B$

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O ; R \right)$ và $\left( O^{'} ; R \right)$; $A B$ là một dây cung của đường tròn $\left( O ; R \right)$ sao cho tam giác $O^{'} A B$ đều và mặt phẳng $\left( O^{'} A B \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O ; R \right)$ một góc $60 \circ$. Tính thể tích $V$ của hình trụ đã cho.

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng 4, hình trụ $\left( H \right)$ có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên $\left( S \right)$. Gọi $V_{1}$ là thể tích khối trụ $\left( H \right)$ và $V_{2}$ là thể tích của khối cầu $\left( S \right)$. Tỉ số $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A ' B ' C ' D '$có $A D = 8 , C D = 6 , A C ' = 2 \sqrt{41}$. Tính diện tích toàn phần $S_{t p}$của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật $A B C D$và $A ' B ' C ' D '$.

Gọi $\left( D \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = f \left( x \right) = a x^{2} + b x + c$ và $y = g \left( x \right) = - x^{2} + m x + n$. Biết $S_{\left( D \right)} = 9$ và đồ thị hàm số $y = g \left( x \right)$ có đỉnh $I \left( 0 ; 2 \right)$. Khi cho miền được giới hạn bởi hai đường cong trên và hai đường thẳng $x = - 1 ; x = 2$ quay quanh trục $O x$, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích $V$. Giá trị của $V$ bằng: