Cho hàm số $f \left( x \right) = \dfrac{2}{5} x^{5} - \dfrac{m}{2} x^{4} + \dfrac{4 \left( m + 3 \right)}{3} x^{3} - \left( m + 7 \right) x^{2}$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$ có đúng một điểm cực đại?

Cho hàm số $f \left( x \right) = \dfrac{2}{5} x^{5} - \dfrac{m}{2} x^{4} + \dfrac{4 \left( m + 3 \right)}{3} x^{3} - \left( m + 7 \right) x^{2}$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$ có đúng một điểm cực đại?
A. $16 .$B. $17 .$C. $12 .$D. $13 .$
Lời giải
Ta có $f^{'} \left( x \right) = 2 x^{4} - 2 m x^{3} + 4 \left( m + 3 \right) x^{2} - 2 \left( m + 7 \right) x = 2 x \left[\right. x^{3} - m x^{2} + 2 \left( m + 3 \right) x - m - 7 \left]\right.$
Ta thấy phương trình $x^{3} - m x^{2} + 2 \left( m + 3 \right) x - m - 7 = 0$ có nghiệm là $x = 1$
Áp dụng sơ đồ Horner:
$& 1 & - m & 2 m + 6 & - m - 7 \\ 1 & 1 & 1 - m & m + 7 & 0$
Khi đó ta có $f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2 x \left( x - 1 \right) \left[ x^{2} + \left(\right. 1 - m \right) x + m + 7 \left]\right. = 0$
Do $\underset{x \rightarrow + \infty}{lim} f \left( x \right) = + \infty$ nên để hàm số $g \left( x \right) = f \left( \left|\right. x \left|\right. \right)$ có đúng một điểm cực đại khi $f \left( x \right)$ có một điểm cực trị dương.
TH1: Phương trình $x^{2} + \left( 1 - m \right) x + m + 7 = 0$ có hai nghiệm phân biệt không dương
$\Leftrightarrow \left{\right. \left(\left( 1 - m \right)\right)^{2} - 4 \left( m + 7 \right) > 0 \\ m - 1 \leq 0 \\ m + 7 \geq 0 \Leftrightarrow \left{ m^{2} - 6 m - 27 > 0 \\ m \leq 1 \\ m \geq - 7 \Leftrightarrow - 7 \leq m < - 3 \Rightarrow m \in \left{\right. - 7 ; - 6 ; - 5 ; - 4 \right}$.
TH2: Phương trình $x^{2} + \left( 1 - m \right) x + m + 7 = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
$\Leftrightarrow \left(\left( 1 - m \right)\right)^{2} - 4 \left( m + 7 \right) \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m - 27 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 9 \Rightarrow m \in \left{ - 3 ; - 2 ; . . . ; 9 \right}$.
TH3: Phương trình $x^{2} + \left( 1 - m \right) x + m + 7 = 0$ có nghiệm $x = 1$.
$\Leftrightarrow 1^{2} + \left( 1 - m \right) 1 + m + 7 = 0 \Leftrightarrow 9 = 0$ (Vô lý).
Vậy $m \in \left{ - 7 ; - 6 ; . . . ; 8 ; 9 \right}$.