Cho hàm số $y = x^{3} - 3 \left( m + 1 \right) x^{2} + 9 x - m$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{1} , x_{2}$ sao cho $3 x_{1} - 2 x_{2} = m + 6$. Tích các phần tử của tập $S$ bằng

A.  

$0$.

B.  

$- 2$.

C.  

$- 3$.

D.  

$1$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 \left( m + 1 \right) x^{2} + 9 x - m$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{1} , x_{2}$ sao cho $3 x_{1} - 2 x_{2} = m + 6$. Tích các phần tử của tập $S$ bằng
A. $0$. B. $- 2$. C. $- 3$. D. $1$.
Lời giải
Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 \left( m + 1 \right) x + 9$; Xét phương trình $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 \left( m + 1 \right) x + 3 = 0$
Hàm số có 2 điểm cực trị $x_{1} , x_{2}$ $\Leftrightarrow$ phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left(\Delta\right)^{'} > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ m > - 1 + \sqrt{3} \\ m < - 1 - \sqrt{3}$ (*)
Khi đó theo Vi ét ta có $\left{\right. x_{1} . x_{2} = 3 \text{ } \left(\right. 1 \right) \\ x_{1} + x_{2} = 2 m + 2 \text{ } \left( 2 \right) \\ 3 x_{1} - 2 x_{2} = m + 6 \text{ } \left( 3 \right)$.
Từ (2) và (3) suy ra $x_{1} = m + 2 ; \text{ } x_{2} = m$. Thay vào (1) ta được $m \left( m + 2 \right) = 3 \Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. m = 1 \\ m = - 3$(thoả mãn điều kiện(*))
Vậy tích các phần tử của $S$ bằng $- 3$.