Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m \in \left[ - 12 ; 2006 \left]\right. sao cho hàm số
y = \dfrac{2023}{\sqrt{\left(log\right)_{2024} \left(\right. x^{3} - x^{2} + \left(\right. \dfrac{1}{2} m^{2} - 1 \right) x + 5^{x} - \dfrac{1}{2} m - 18 \left.\right)}}
xác định với mọi $x \in \left( 1 ; + \infty \right) .$Tổng tất cả các phần tử của tập $S$ bằng

A.  

$2012937$.

B.  

$2012938$.

C.  

$2013006$.

D.  

$2012943$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ - 12 ; 2006 \left]\right.$ sao cho hàm số
$y = \dfrac{2023}{\sqrt{\left(log\right)_{2024} \left(\right. x^{3} - x^{2} + \left(\right. \dfrac{1}{2} m^{2} - 1 \right) x + 5^{x} - \dfrac{1}{2} m - 18 \left.\right)}}$
xác định với mọi $x \in \left( 1 ; + \infty \right) .$Tổng tất cả các phần tử của tập $S$ bằng
A. $2012937$. B. $2012938$. C. $2013006$. D. $2012943$.
Lời giải
Điều kiện
$\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left(log\right)_{2024} \left( x^{3} - x^{2} + \left(\right. \dfrac{1}{2} m^{2} - 1 \right) x + 5^{x} - \dfrac{1}{2} m - 18 \left.\right) > 0 , \forall x > 1 \\ \Leftrightarrow x^{3} - x^{2} + \left( \dfrac{1}{2} m^{2} - 1 \right) x + 5^{x} - \dfrac{1}{2} m - 18 > 1 , \forall x > 1 \\ \Leftrightarrow x^{2} \left( x - 1 \right) + \dfrac{1}{2} m^{2} \left( x - 1 \right) - \left( x - 1 \right) + 5^{x} - 5 > - \dfrac{1}{2} m^{2} + \dfrac{1}{2} m + 15 , \forall x > 1 \\ \Leftrightarrow \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)^{2} + \dfrac{1}{2} m^{2} \left( x - 1 \right) + 5^{x} - 5 > - \dfrac{1}{2} m^{2} + \dfrac{1}{2} m + 15 , \forall x > 1 .$
Ta có $V T > 0 , \forall x > 1$ nên hàm số xác định với mọi $x \in \left( 1 ; + \infty \right)$ khi và chỉ khi
$- \dfrac{1}{2} m^{2} + \dfrac{1}{2} m + 15 \leq 0 \Leftrightarrow \left[ m \geq 6 \\ m \leq - 5 .$
Vì $m$ nguyên và thuộc $m \in \left[\right. - 12 ; 2006 \left]\right.$ nên $S = \left{\right. - 12 ; - 11 ; \ldots ; - 5 ; 6 ; 7 ; \ldots ; 2006 \right}$.
Tổng tất cả các phần tử của tập $S$ là $\sum_{}^{} m = 2012938$.