Cho hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m \text{ } \left( C \right)$, với $m$ là tham số. Giả sử đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_{1} < x_{2} < x_{3}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.  

$1 < x_{1} < 3 < x_{2} < 4 < x_{3}$.

B.  

$1 < x_{1} < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$.

C.  

$0 < x_{1} < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$.

D.  

$x_{1} < 0 < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m \text{ } \left( C \right)$, với $m$ là tham số. Giả sử đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_{1} < x_{2} < x_{3}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $1 < x_{1} < 3 < x_{2} < 4 < x_{3}$. B. $1 < x_{1} < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$.
C. $0 < x_{1} < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$. D. $x_{1} < 0 < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m = 0 \Leftrightarrow m = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ (1). Xét hàm số $f \left( x \right) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ với $x \in \mathbb{R}$.
Ta có $f ' \left( x \right) = - 3 x^{2} + 12 x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 1 \\ x = 3$.
Ta có $f \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 0 \\ x = 3$
và $f \left( x \right) = - 4 \Leftrightarrow - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = - 4 \Leftrightarrow \left[\right. x = 1 \\ x = 4$
BBT của hàm số $f \left( x \right)$

Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn $x_{1} < x_{2} < x_{3}$
$\Leftrightarrow$ Phương trình (1) có 3 nghiệm $x_{1} < x_{2} < \textrm{ } x_{3}$
$\Leftrightarrow$ Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $f \left( x \right)$ tại 3 điểm có hoành độ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$
Dựa vào BBT ta suy ra $0 < x_{1} < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$.
Bản word phát hành từ website Tailieuchuan.vn