Cho hàm số $f \left( x \right) = x^{2} - 2 x + 1$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g \left( x \right) = \left|\right. f^{2} \left( x \right) - 2 f \left( x \right) + m \left|\right.$ trên đoạn $\left[\right. - 1 ; 3 \left]\right.$ bằng $8$. Tính tổng các phần tử của $S$.

A.  

$- 7$.

B.  

$2$.

C.  

$0$.

D.  

$5$.

Đáp án đúng là: A

Cho hàm số $f \left( x \right) = x^{2} - 2 x + 1$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g \left( x \right) = \left|\right. f^{2} \left( x \right) - 2 f \left( x \right) + m \left|\right.$ trên đoạn $\left[\right. - 1 ; 3 \left]\right.$ bằng $8$. Tính tổng các phần tử của $S$.
A. $- 7$. B. $2$. C. $0$. D. $5$.
Lời giải
Khi $x \in \left[\right. - 1 ; 3 \left]\right. \Rightarrow f \left( x \right) \in \left[\right. 0 ; 4 \left]\right.$. Đặt $f \left( x \right) = t \in \left[\right. 0 ; 4 \left]\right.$.
Khi đó, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow h \left( t \right) = \left|\right. t^{2} - 2 t + m \left|\right.$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[\right. 0 ; 4 \left]\right.$ bằng 8
$\Leftrightarrow \left{\right. h \left( t \right) \leq 8 , \textrm{ } \forall t \in \left[ 0 ; 4 \left]\right. \\ \exists t_{0} \in \left[\right. 0 ; 4 \left]\right. : f \left(\right. t_{0} \right) = 8 \textrm{ }\textrm{ } \left( * \right)$.
Với mọi $t \in \left[ 0 ; 4 \left]\right.$, ta có: $\left|\right. t^{2} - 2 t + m \left|\right. \leq 8 \Leftrightarrow - 8 \leq t^{2} - 2 t + m \leq 8$
$\Leftrightarrow - t^{2} + 2 t - 8 \leq m \leq - t^{2} + 2 t + 8 \Leftrightarrow \underset{\left[\right. 0 ; 4 \left]\right.}{max} \left(\right. - t^{2} + 2 t - 8 \right) \leq m \leq \underset{\left[ 0 ; 4 \left]\right.}{min} \left(\right. - t^{2} + 2 t + 8 \right) \Leftrightarrow - 7 \leq m \leq 0$.
Đồng thời từ $\left( * \right)$ suy ra $\left[\right. m = 0 \\ m = - 7$. Vậy tổng các phần tử của $S$ là $- 7$.