Cho hàm số $y = x^{3} + m x^{2} + \left( 2 m^{2} - m + 1 \right) x + m^{2} - 3 m .$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left(\right. - \infty ; \textrm{ }\textrm{ } 0 \left]\right.$ bằng $- 2 .$ Tích các phần tử của $S$ bằng

A.  

$0$.

B.  

$1$.

C.  

$3$.

D.  

$2$.

Đáp án đúng là: D

Cho hàm số $y = x^{3} + m x^{2} + \left( 2 m^{2} - m + 1 \right) x + m^{2} - 3 m .$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left(\right. - \infty ; \textrm{ }\textrm{ } 0 \left]\right.$ bằng $- 2 .$ Tích các phần tử của $S$ bằng
A. $0$. B. $1$. C. $3$. D. $2$.
Lời giải
Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 2 m x + 2 m^{2} - m + 1$.
Vì $y^{'}$ có $a = 3 > 0$ và $\left(\left(\Delta\right)^{'}\right)_{y^{'}} = m^{2} - 3 \left( 2 m^{2} - m + 1 \right) = - 5 m^{2} + 3 m - 3 < 0 , \forall m \in \mathbb{R}$ do đó hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó $\underset{\left(\right. - \infty ; 0 \left]\right.}{max} y = y \left( 0 \right) = m^{2} - 3 m$.
Theo đề bài, ta có: $m^{2} - 3 m = - 2 \Leftrightarrow m^{2} - 3 m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ m = 1 \\ m = 2$ suy ra $S = \left{\right. 1 ; 2 \right}$.
Vậy tích các phần tử của tập $S$ bằng $2 . 1 = 2$.