Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 \left( m + 1 \right) x^{2} + 6 m x - 2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của tham số $m$ để hàm số có hai cực trị cùng dấu. Số phần tử của $S$ là

A.  

vô số.

B.  

$3$.

C.  

$2$.

D.  

$1$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 \left( m + 1 \right) x^{2} + 6 m x - 2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của tham số $m$ để hàm số có hai cực trị cùng dấu. Số phần tử của $S$ là
A. vô số. B. $3$. C. $2$. D. $1$.
Lời giải
$y^{'} = 6 x^{2} - 6 \left( m + 1 \right) x + 6 m$
$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 1 \\ x = m$
Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m \neq 1$.
Khi đó, hai cực trị của hàm số là $y \left( 1 \right) = 3 m - 3 = 3 \left( m - 1 \right)$
$y \left( m \right) = - m^{3} + 3 m^{2} - 2 = - \left( m - 1 \right) \left( m^{2} - 2 m - 2 \right)$
Hàm số có hai cực trị cùng dấu $\Leftrightarrow y \left( 1 \right) . y \left( m \right) > 0$ $\Leftrightarrow - 3 \left(\left( m - 1 \right)\right)^{2} \left( m^{2} - 2 m - 2 \right) > 0$ $\Leftrightarrow \left{ m \neq 1 \\ 1 - \sqrt{3} < m < 1 + \sqrt{3}$.
Mà $m$ nguyên nên $m \in \left{\right. 0 ; \textrm{ } 2 \right}$.