Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\int_{1}^{e^{3}} \dfrac{f \left( ln x \right)}{x} \text{d} x = 7$, $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f \left( cos x \right) sin x \text{d} x = 3$. Giá trị của $\int_{1}^{3} \left[\right. f \left( x \right) + 2 x \left]\right. \text{d} x$ bằng

A.  

$10$.

B.  

$- 10$.

C.  

$15$.

D.  

$12$.

Đáp án đúng là: D

Cho hàm số $f \left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\int_{1}^{e^{3}} \dfrac{f \left( ln x \right)}{x} \text{d} x = 7$, $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f \left( cos x \right) sin x \text{d} x = 3$. Giá trị của $\int_{1}^{3} \left[\right. f \left( x \right) + 2 x \left]\right. \text{d} x$ bằng
A. $10$. B. $- 10$. C. $15$. D. $12$.
Lời giải
Ta có $\int_{1}^{e^{3}} \dfrac{f \left( ln x \right)}{x} \text{d} x = \int_{1}^{e^{3}} f \left( ln x \right) \text{d} \left( ln x \right) = \int_{0}^{3} f \left( t \right) \text{d} t = \int_{0}^{3} f \left( x \right) \text{d} x = 7$.
Ta có $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f \left( cos x \right) sin x \text{d} x = - \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f \left( cos x \right) \text{d} \left( cos x \right) = - \int_{1}^{0} f \left( u \right) \text{d} u = \int_{0}^{1} f \left( x \right) \text{d} x = 3$.
Khi đó $\int_{1}^{3} \left[\right. f \left( x \right) + 2 x \left]\right. \text{d} x = \int_{0}^{3} f \left( x \right) \text{d} x - \int_{0}^{1} f \left( x \right) \text{d} x + \int_{1}^{3} 2 x \text{d} x = 7 - 3 + 8 = 12$.