Cho hàm số $f \left( x \right) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, phương trình $f \left( \dfrac{x - 3}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x - 1} \right) . f \left( \dfrac{x - 1}{x} - m \right) = 1$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt?

Nhận xét hàm $f \left( x \right)$ là hàm số luôn đồng biến và là hàm số lẻ
Cách giải:
$f \left( x \right) = x + \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow f^{'} \left( x \right) = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
Do $\left|\right. \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \left|\right. < 1 \Rightarrow - 1 < \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} < 1 \Rightarrow f^{'} \left( x \right) > 0$ với mọi $x$
Suy ra $f \left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Ta có $f \left( - x \right) = - x + \sqrt{x^{2} + 1} = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = \dfrac{1}{f \left( x \right)}$
$\Rightarrow f \left( \dfrac{x - 3}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x - 1} \right) . f \left( \dfrac{x - 1}{x} - m \right) = 1$
$\Leftrightarrow f \left( \dfrac{x - 3}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x - 1} \right) = \dfrac{1}{f \left( \dfrac{x - 1}{x} - m \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x - 3}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x - 1} = - \left( \dfrac{x - 1}{x} - m \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{x - 3}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x - 1} + \dfrac{x - 1}{x} = m$
Đặt $g \left( x \right) = \dfrac{x - 3}{x - 2} + \dfrac{x - 2}{x - 1} + \dfrac{x - 1}{x}$
$= 1 - \dfrac{1}{x - 2} + 1 - \dfrac{1}{x - 1} + 1 - \dfrac{1}{x} = 3 - \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x}$
$\Rightarrow g^{'} \left( x \right) = \dfrac{1}{\left( x - 2 \left(\right)\right)^{2}} + \dfrac{1}{\left( x - 1 \left(\right)\right)^{2}} + \dfrac{1}{x^{2}} > 0$
Vậy ta có BBT