Cho hàm số $f \left( x \right) = x^{4} - 18 x^{2} + 4$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( - 3 ; 2 \right)$ của phương trình $f \left( x^{2} + 2 x + 3 \right) = m$ bằng −4

A.  

24.

B.  

23.

C.  

26.

D.  

25.

Đáp án đúng là: A

$f \left( x \right) = x^{4} - 18 x^{2} + 4$, TXĐ $D = \mathbb{R}$.
$f^{'} \left( x \right) = 4 x^{3} - 36 x$
$f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 36 x = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 0 \\ x = \pm \textrm{ } 3$
Đặt $g \left( x \right) = f \left( x^{2} + 2 x + 3 \right)$, TXĐ $D = \mathbb{R}$.
$g^{'} \left( x \right) = \left( 2 x + 2 \right) f^{'} \left( x^{2} + 2 x + 3 \right)$
$g^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. 2 x + 2 = 0 \\ f^{'} \left( x^{2} + 2 x + 3 \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\right. x = - 1 \\ x^{2} + 2 x + 3 = 0 \text{ } \\ x^{2} + 2 x + 3 = 3 \text{ } \\ x^{2} + 2 x + 3 = - 3 \Leftrightarrow \left[\right. x = - 1 \\ x = 0 \\ x = - 2$
Ta có bảng biến thiên:

$g \left( - 1 \right) = f \left( 2 \right) = - 52$
$g \left( - 2 \right) = f \left( 3 \right) = - 77 ; \textrm{ }$ $g \left( 0 \right) = f \left( 3 \right) = - 77 ; \textrm{ }$ $g \left( - 3 \right) = f \left( 6 \right) = 652 ; \textrm{ }$ $g \left( 2 \right) = f \left( 11 \right) = 12467$
Ta thấy hàm số $g \left( x \right)$ nhận đường thẳng $x = - 1$ làm trục đối xứng.
Do đó tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( - 3 ; 2 \right)$ của phương trình $f \left( x^{2} + 2 x + 3 \right) = m$ bằng −4 khi nó có bốn nghiệm phân biệt.
Yêu cầu bài toán tương đương với $- 77 < m < - 52$.
Kết luận: Vậy có 24 giá trị $m$ nguyên thỏa mãn đề bài.