Cho hàm số $y = \textrm{ } f \left( x \right) = \textrm{ } a x^{3} + b x^{2} + c x + d , \textrm{ }$ $\left( a , \textrm{ } b , \textrm{ } c , \textrm{ } d \textrm{ } \in \mathbb{R} , \textrm{ } a \neq \textrm{ } 0 \right)$. Biết đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \textrm{ } f \left( x \right)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Đồ thị hàm số $y = \textrm{ } f^{'} \left( x \right)$ như hình vẽ.

Tính diện tích $S$ của hình phẳng tạo bởi đồ thị $\left( C \right)$ và trục hoành.

A.  

$S = 63$

B.  

$S = 36$

C.  

$S = 45$

D.  

$S = 54$

Đáp án đúng là: B

Cho hàm số đa thức $y = f \left( x \right)$ có $f ' \left( x \right) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$, với $\forall x \in \mathbb{R}$. Biết hàm số $g \left( x \right) = f \left( x \right) - \dfrac{2}{3} x^{3} - \dfrac{1}{2} x^{2} + x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$ và hàm số $h \left( x \right) = f \left( x \right) - \dfrac{1}{6} \left( 3 x^{4} + 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 1 \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f \left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = - 2$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $M \left( 0 ; 1 \right)$ ?