Cho hàm số $y = g \left( x \right)$ thỏa mãn $2 g^{3} \left( x \right) - 6 g^{2} \left( x \right) + 7 g \left( x \right) = 3 - \left( 2 x - 3 \right) \sqrt{1 - x}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2 g \left( x \right) + x$

A.  

$0$

B.  

$1$

C.  

$4$

D.  

$6$

Đáp án đúng là: D

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{3}}{9} x^{3}$, cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2 \left.\right)$và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục hoành là $V = \left( - \dfrac{a}{b} \sqrt{3} + \dfrac{c}{d} \right) \pi$, trong đó $a , b , c , d \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star}$ và $\dfrac{a}{b} , \dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b - c + d$.
A. $P = 40 .$B. $P = 46 .$C. $P = 16 .$D. $P = 14 .$
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\sqrt{4 - x^{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{9} x^{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{27} x^{6} = 4 - x^{2} \Leftrightarrow x^{6} + 27 x^{2} - 108 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3}$
Ta thấy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục hoành bằng $V = V_{1} + V_{2}$Trong đó:
+) $V_{1} = \left{ x \in \left[\right. 0 ; \sqrt{3} \left]\right. , y = \dfrac{\sqrt{3}}{9} x^{3} , O x \right}$. Ta có:
$V_{1} = \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{9} x^{3} \right) \text{d} x = \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{27} x^{6} \text{d} x = \left( \dfrac{\pi}{27} . \dfrac{x^{7}}{7} \left|\right)_{0}^{\sqrt{3}} = \dfrac{\pi \sqrt{3}}{7}$.
+) $V_{2} = \left{\right. x \in \left[\right. \sqrt{3} ; 2 \left]\right. , y = \sqrt{4 - x^{2}} , O x \right}$. Ta có:
$V_{2} = \pi \int_{\sqrt{3}}^{2} \left(\left( \sqrt{4 - x^{2}} \right)\right)^{2} \text{d} x = \pi \int_{\sqrt{3}}^{2} \left( 4 - x^{2} \right) \text{d} x = \pi \left( \left( 4 x - \dfrac{x^{3}}{3} \right) \left|\right)_{\sqrt{3}}^{2} = \pi \left(\right. 8 - \dfrac{8}{3} \right) - \pi \left( 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \right) = \dfrac{16 \pi}{3} - 3 \pi \sqrt{3}$
Khi đó ta có: $V = V_{1} + V_{2} = \dfrac{16 \pi}{3} - 3 \pi \sqrt{3} + \dfrac{\pi \sqrt{3}}{7} = \pi \left( - \dfrac{20 \sqrt{3}}{7} + \dfrac{16}{3} \right)$.
Suy ra: $\left{\right. a = 20 \\ b = 7 \\ c = 16 \\ d = 3 \Rightarrow P = a + b - c + d = 14$.