Cho hàm số $y = \left| \dfrac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} \left|\right.$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng $4$.

Cho hàm số $y = \left|\right. \dfrac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} \left|\right.$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng $4$.
A. $20$. B. $14$. C. $10$. D. $18$.
Lời giải
Ta có:
$M a x \textrm{ } y \leq 4 \Leftrightarrow \left|\right. \dfrac{x^{2} - 2 m x + 1}{x^{2} - x + 2} \left|\right. \leq 4 \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \forall x \in \mathbb{R} \\ \Rightarrow \left|\right. x^{2} - 2 m x + 1 \left|\right. \leq 4 . \left(\right. x^{2} - x + 2 \right) \Leftrightarrow \left{ \begin{matrix}x^{2} - 2 m x + 1 \leq 4 . \left(\right. x^{2} - x + 2 \right) \\ - 4 . \left( x^{2} - x + 2 \right) \leq x^{2} - 2 m x + 1\end{matrix} \\ \Leftrightarrow \left{ \begin{matrix}- 3 x^{2} + \left(\right. 4 - 2 m \right) x - 7 \leq 0 \\ 5 x^{2} - \left( 4 + 2 m \right) x + 9 \geq 0\end{matrix} \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \forall x \in R \\ \Rightarrow \left{ \begin{matrix}\left(\left(\right. 2 - m \right)\right)^{2} - 21 \leq 0 \\ \left(\left( 2 + m \right)\right)^{2} - 45 \leq 0\end{matrix} \Leftrightarrow \left{ \begin{matrix}- 2 \leq m \leq 6 \\ - 8 \leq m \leq 4\end{matrix} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 4$
Ta thấy $m \in \left[\right. - 2 ; 4 \left]\right.$thì $M a x \textrm{ } y \leq 4$nên $m \in \left(\right. - \infty ; - 2 \left]\right. \cup \left[\right. 4 ; + \infty \right)$thì $M a x \textrm{ } y \geq 4$.
Kết hợp với điều kiện $\left{ m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right. \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left{\right. - 8 ; - 7 ; - 6 ; - 5 ; - 4 ; - 3 ; - 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 \right}$
-------HẾT------