Cho hàm số y = x^{3} + a x^{2} + b x + c \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a , b , c \in \mathbb{R} \right) có đồ thị $\left( C \right)$ và $y = m x^{2} + n x + p \textrm{ }\textrm{ } \left( m , n , p \in \mathbb{R} \right)$ có đồ thị $\left( P \right)$ như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A.  

$\left( 0 ; 1 \right)$.

B.  

$\left( 1 ; 2 \right)$.

C.  

$\left( 2 ; 3 \right)$.

D.  

$\left( 3 ; 4 \right)$.

Đáp án đúng là: B

Chọn B
Căn cứ đồ thị ta thấy
+ Hàm số $y = x^{3} + a x^{2} + b x + c$đạt cực trị tại $x = \pm 1$ nên ta có
$\left{\right. y^{'} \left( 1 \right) = 0 \\ y^{'} \left( - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left{\right. 2 a + b + 3 = 0 \\ - 2 a + b + 3 = 0 \Leftrightarrow \left{\right. a = 0 \\ b = - 3$.
+ Hàm số $y = m x^{2} + n x + p \textrm{ }$đạt cực đại tại $x = - 1$ và $\left( P \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm có hoành độ $x = \pm 1$ nên ta có
$\left{ - 2 m + n = 0 \\ 1 + a + b + c = m + n + p \\ - 1 + a - b + c = m - n + p \Leftrightarrow \left{\right. n = - 2 \\ m = - 1 \\ p - c = 1$
Suy ra $S = \int_{- 1}^{1} \left(\right. m x^{2} + n x + p - x^{3} - a x^{2} - b x - c \right) \text{d} x = \int_{- 1}^{1} \left( - x^{3} - x^{2} + x + 1 \right) \text{d} x = \dfrac{4}{3} \in \left( 1 ; 2 \right)$.