Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O ; R \right)$ và $\left( O^{'} , R \right)$, chiều cao $2 R$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm của $O O^{'}$ và tạo với $O O^{'}$ một góc $30 \circ$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt đường tròn đáy $\left( O ; R \right)$ tại hai điểm $A , \textrm{ } B$. Tính độ dài đoạn thẳng $A B$ theo $R$?

A.  

$\dfrac{2 R \sqrt{3}}{3}$.

B.  

$\dfrac{4 R \sqrt{3}}{9}$.

C.  

$\dfrac{2 R \sqrt{6}}{3}$.

D.  

$\dfrac{2 R}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$\left(\left[\right. f ' \left( x \right) \left]\right.\right)^{2} = f \left( x \right) . e^{x} , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$ và $f \left( 0 \right) = 2$.
Khi đó $f \left( 2 \right)$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 11 ; 12 \right)$. B. $\left( 12 ; 13 \right)$. C. $\left( 9 ; 10 \right)$. D. $\left( 13 ; 14 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $f \left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R} \Rightarrow f \left( x \right) > f \left( 0 \right) = 2 \Rightarrow f \left( x \right) > 0 , \forall x \in \mathbb{R}$.
Lại có: $\left(\left[\right. f ' \left( x \right) \left]\right.\right)^{2} = f \left( x \right) . e^{x} , \textrm{ } \forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow f ' \left( x \right) = \sqrt{f \left( x \right) . e^{x}} = \sqrt{f \left( x \right)} . e^{\dfrac{x}{2}}$ $, \forall x \in \mathbb{R}$.
$\Rightarrow$ $\dfrac{f ' \left( x \right)}{2 \sqrt{f \left( x \right)}} = \dfrac{1}{2} e^{\dfrac{x}{2}}$, $\forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $\int_{0}^{2} \dfrac{f ' \left( x \right)}{2 \sqrt{f \left( x \right)}} d x = \int_{0}^{2} \dfrac{1}{2} e^{\dfrac{x}{2}} d x$
$\Rightarrow \left( \left[\right. \sqrt{f \left( x \right)} \left] \left|\right.\right)_{0}^{2} = \left( \left(\right. e^{\dfrac{x}{2}} \right) \left|\right.\right)_{0}^{2} = \sqrt{f \left( 2 \right)} - \sqrt{f \left( 0 \right)} = e^{1} - e^{0}$ $\Rightarrow f \left( 2 \right) = \left( e + \sqrt{2} \right)^{2} \approx 9 , 81 \in \left( 9 ; 10 \right)$.