Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #8025

Cho hệ phương trinh \left{ 4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \\ 4^{x} + 1 = \left(\right. m^{2} + 2 \right) \sqrt{1 - y^{2}} . 4^{y}, mm là tham số. Gọi SSlà tập giá trị mmnguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập

Hình ảnh

là

A.  

3.3 .

B.  

0.0 .

C.  

1.1 .

D.  

2.2 .

Đáp án đúng là: C

Cho hệ phương trinh , mm là tham số. Gọi SSlà tập giá trị mmnguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập

là
A. 3.3 .B. 0.0 .C. 1.1 .D. 2.2 .
Lời giải
.
Điều kiện của hệ phương trình 1−y2≥0⇔−1≤y≤1.1 - y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 1 .
4x−y−22y+x−2y=0⇔4x−y+x−y=4y+y4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \Leftrightarrow 4^{x - y} + x - y = 4^{y} + y.
Đặt f(t)=4t+t⇒f′(t)=4t.ln4+1>0,∀t∈[−1;1]f \left( t \right) = 4^{t} + t \Rightarrow f^{'} \left( t \right) = 4^{t} . ln4 + 1 > 0 , \forall t \in \left[\right. - 1 ; 1 \left]\right.
Ta có
Thay 2y=x2 y = x vào phương trình (2) ta được. 4x+1=(m2+2)24−x2.2x ,(−2≤x≤2)4^{x} + 1 = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - x^{2}} . 2^{x} \textrm{ } , \left( - 2 \leq x \leq 2 \right).
Giả sử x0x_{0} là nghiệm ta có 4x0+1=(m2+2)24−(x0)2.2x04^{x_{0}} + 1 = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - \left(x_{0}\right)^{2}} . 2^{x_{0}}.
Xét −x0- x_{0}thay vào phương trình 4−x0+1=(m2+2)24−(x0)2.2−x0 ⇔1+4x0=(m2+2)24−(x0)2.2x04^{- x_{0}} + 1 = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - \left(x_{0}\right)^{2}} . 2^{- x_{0}} \textrm{ } \Leftrightarrow 1 + 4^{x_{0}} = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - \left(x_{0}\right)^{2}} . 2^{x_{0}}.Do đó −x0- x_{0} cũng là nghiệm của phương trình. Do hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi x0=0x_{0} = 0. Khi đó m=0.m = 0 .
Thay m=0m = 0 vào (2) ta được 4x+1=4−x2.2x⇔2x+12x=4−x2.4^{x} + 1 = \sqrt{4 - x^{2}} . 2^{x} \Leftrightarrow 2^{x} + \dfrac{1}{2^{x}} = \sqrt{4 - x^{2}} ..
Ta có Để phương trình có nghiệm khi x=0x = 0.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi m=0.m = 0 .


 

Câu hỏi tương tự:

#8736 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ toạ độ OxyzO x y z, cho điểm M(2;−3;1)M \left( 2 ; - 3 ; 1 \right) và mặt phẳng (α):x+3y−z+2=0\left( \alpha \right) : x + 3 y - z + 2 = 0. Đường thẳng dd đi qua điểm MM và vuông góc với mặt phẳng (α)\left( \alpha \right) có phương trình tham số là:

Lượt xem: 148,653 Cập nhật lúc: 12:57 18/01/2025

#8331 THPT Quốc giaToán

Cho hệ phương trình . Biết hệ có một nghiệm (x0;y0),x0>0\left( x_{0} ; y_{0} \right) , x_{0} > 0, với x0=a+−b+c22x_{0} = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{- b + c \sqrt{2}}}{2} trong đó aa, bb, cc là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của N=b+c−aN = b + c - a bằng.

Lượt xem: 141,669 Cập nhật lúc: 12:58 18/01/2025

#6975 THPT Quốc giaVật lý

 

Một người có khối lượng  60 kg60 \, \text{kg} treo mình vào sợi dây bungee đàn hồi có hệ số đàn hồi  k=270 N/mk = 270 \, \text{N/m}. Từ vị trí cân bằng người này được kéo thêm  2 m2 \, \text{m} so với vị trí cân bằng và thả cho hệ dao động điều hòa. Chọn trục tọa độ  OxOx theo phương thẳng đứng, gốc  OO tại vị trí cân bằng của hệ, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc hệ bắt đầu dao động. Phương trình li độ của hệ được viết như sau:

Lượt xem: 118,683 Cập nhật lúc: 11:27 18/01/2025

#944 THPT Quốc giaVật lý


Một người khối lượng 60 kg treo mình vào sợi dây đàn hồi có hệ số đàn hồi k=270 N/m (Hình vẽ). Từ vị trí cân bằng người này được kéo lên 2m so với vị trí cân bằng và thả cho hệ dao động điều hoà. Chọn trục tọa độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc O tại vị trí cân bằng của hệ, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc hệ bắt đầu dao động. Phương trình li độ của hệ là

Lượt xem: 16,084 Cập nhật lúc: 09:38 17/01/2025

#8804 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,O x y z , cho hai đường thẳng (Δ)1:x+13=y−21=z−12\left(\Delta\right)_{1} : \dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 1}{2} và (Δ)2:x−11=y2=z+13\left(\Delta\right)_{2} : \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 1}{3}. Phương trình đường thẳng song song với và cắt hai đường thẳng (Δ)1;(Δ)2\left(\Delta\right)_{1} ; \left(\Delta\right)_{2} là

Lượt xem: 149,757 Cập nhật lúc: 10:45 18/01/2025

#7985 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ tọa độ OxyzO x y z, cho hai điểm A(1;−2;7),B(−3;8;−1)A \left( 1 ; - 2 ; 7 \right) , B \left( - 3 ; 8 ; - 1 \right). Mặt cầu đường kính ABA B có phương trình là

Lượt xem: 135,849 Cập nhật lúc: 11:01 18/01/2025

#8607 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0),  B(0;−2;0)A \left( 1 ; 0 ; 0 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 0 ; - 2 ; 0 \right) và C(0;0;3)C \left( 0 ; 0 ; 3 \right). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)\left( A B C \right)?

Lượt xem: 146,425 Cập nhật lúc: 18:29 18/01/2025

#7750 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzO x y z, cho đường thẳng dd và mặt phẳng lần lượt có phương trình x+12=y1=z−21\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1} và x+y−2z+8=0x + y - 2 z + 8 = 0, điểm A(2;−1;3)A \left( 2 ; - 1 ; 3 \right). Đường thẳng Δ\Delta cắt dd và (P)\left( P \right) lần lượt tại MM và NN sao cho AA là trung điểm của đoạn thẳng MNM N đi qua điểm B(2;m;n)B \left( 2 ; m ; n \right). Tổng m+2nm + 2 n bằng

Lượt xem: 131,795 Cập nhật lúc: 18:16 18/01/2025

#7725 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ toạ độ OxyzO x y z, cho mặt phẳng (P):x+y+z=0\left( P \right) : x + y + z = 0và mặt cầu (S)\left( S \right) có tâm I(0;1;2)I \left( 0 ; 1 ; 2 \right) bán kính R=1R = 1. Xét điểm MM thay đổi trên (P)\left( P \right). Khối nón có đỉnh II và đường tròn đáy là đường tròn đi qua tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ MM đến (S)\left( S \right). Khi (N)\left( N \right) có thể tích lớn nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N)\left( N \right) có phương trình là x+ay+bz+c=0x + a y + b z + c = 0. Giá trị của a+b+ca + b + c bằng

Lượt xem: 131,372 Cập nhật lúc: 18:36 18/01/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2023 - MÔN TOÁN - SGD Thái Bình - Lần 2 THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

316 lượt xem 133 lượt làm bài