Cho hệ phương trinh \left{ 4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \\ 4^{x} + 1 = \left(\right. m^{2} + 2 \right) \sqrt{1 - y^{2}} . 4^{y}, $m$ là tham số. Gọi $S$là tập giá trị $m$nguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập

là

A.  

$3 .$

B.  

$0 .$

C.  

$1 .$

D.  

$2 .$

Đáp án đúng là: C

Cho hệ phương trinh $\left{ 4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \\ 4^{x} + 1 = \left(\right. m^{2} + 2 \right) \sqrt{1 - y^{2}} . 4^{y}$, $m$ là tham số. Gọi $S$là tập giá trị $m$nguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập

là
A. $3 .$B. $0 .$C. $1 .$D. $2 .$
Lời giải
$\left{\right. 4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \textrm{ } \left( 1 \right) \\ 4^{x} + 1 = \left( m^{2} + 2 \right) \sqrt{1 - y^{2}} . 4^{y} \textrm{ } \left( 2 \right)$.
Điều kiện của hệ phương trình $1 - y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 1 .$
$4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \Leftrightarrow 4^{x - y} + x - y = 4^{y} + y$.
Đặt $f \left( t \right) = 4^{t} + t \Rightarrow f^{'} \left( t \right) = 4^{t} . ln4 + 1 > 0 , \forall t \in \left[\right. - 1 ; 1 \left]\right.$
Ta có $\left{\right. f^{'} \left( t \right) > 0 , \textrm{ } \forall t \in \left[ - 1 ; 1 \left]\right. \\ f \left(\right. x - y \right) = f \left( y \right) \Rightarrow x - y = y \Leftrightarrow x = 2 y .$
Thay $2 y = x$ vào phương trình (2) ta được. $4^{x} + 1 = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - x^{2}} . 2^{x} \textrm{ } , \left( - 2 \leq x \leq 2 \right)$.
Giả sử $x_{0}$ là nghiệm ta có $4^{x_{0}} + 1 = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - \left(x_{0}\right)^{2}} . 2^{x_{0}}$.
Xét $- x_{0}$thay vào phương trình $4^{- x_{0}} + 1 = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - \left(x_{0}\right)^{2}} . 2^{- x_{0}} \textrm{ } \Leftrightarrow 1 + 4^{x_{0}} = \dfrac{\left( m^{2} + 2 \right)}{2} \sqrt{4 - \left(x_{0}\right)^{2}} . 2^{x_{0}}$.Do đó $- x_{0}$ cũng là nghiệm của phương trình. Do hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi $x_{0} = 0$. Khi đó $m = 0 .$
Thay $m = 0$ vào (2) ta được $4^{x} + 1 = \sqrt{4 - x^{2}} . 2^{x} \Leftrightarrow 2^{x} + \dfrac{1}{2^{x}} = \sqrt{4 - x^{2}} .$.
Ta có $\left{ 2^{x} + \dfrac{1}{2^{x}} \geq 2 \\ \sqrt{4 - x^{2}} \leq 2 \Rightarrow$Để phương trình có nghiệm khi $x = 0$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi $m = 0 .$