Cho hệ phương trinh $\left{ 4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \\ 4^{x} + 1 = \left(\right. m^{2} + 2 \right) \sqrt{1 - y^{2}} . 4^{y}$, $m$ là tham số. Gọi $S$là tập giá trị $m$nguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập

là

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho điểm $M \left( 2 ; - 3 ; 1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right) : x + 3 y - z + 2 = 0$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình tham số là:

Cho hệ phương trình $\left{ 2^{x^{2}} - 4^{y + 1} = 2 y + 2 - x^{2} \\ 4 x^{3} + 2 \left(\right. 2 y + 2 \right) = \sqrt{\left( x^{4} + 1 \right) \left[ x^{4} + 16 \left(\right. 2 y + 2 \right) + 8 x + 1 \left]\right.}$. Biết hệ có một nghiệm $\left( x_{0} ; y_{0} \right) , x_{0} > 0$, với $x_{0} = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{- b + c \sqrt{2}}}{2}$ trong đó $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của $N = b + c - a$ bằng.

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho hai điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 7 \right) , B \left( - 3 ; 8 ; - 1 \right)$. Mặt cầu đường kính $A B$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z ,$ cho hai đường thẳng $\left(\Delta\right)_{1} : \dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 1}{2}$ và $\left(\Delta\right)_{2} : \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z + 1}{3}$. Phương trình đường thẳng song song với $d : \left{ x = 3 \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + t$ và cắt hai đường thẳng $\left(\Delta\right)_{1} ; \left(\Delta\right)_{2}$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A \left( 1 ; 0 ; 0 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 0 ; - 2 ; 0 \right)$ và $C \left( 0 ; 0 ; 3 \right)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $\left( A B C \right)$?

Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có và vật nhỏ $M$, một đầu gắn chặt vào sàn. Đặt vật $m$ nằm trên $M$. Bỏ qua mọi lực cản, lấy $g=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. Kích thích cho hệ dao động điều hòa theo phương thẳng đứng (trong quá trình dao động $m$ không rời khỏi $M$). Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của phản lực $F_{12}$ mà $M$ tác dụng lên $m$ theo thời gian $t$. Biết $t_2-t_1=\frac{3\pi }{20}\mathrm{s}$. Thời điểm đầu tiên độ lớn của $F_{12}$ bằng 0,8 lần trọng lực của $m$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\right. P \right)$ lần lượt có phương trình $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$, điểm $A \left( 2 ; - 1 ; 3 \right)$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N$ đi qua điểm $B \left( 2 ; m ; n \right)$. Tổng $m + 2 n$ bằng

Một người có khối lượng  $60 \, \text{kg}$ treo mình vào sợi dây bungee đàn hồi có hệ số đàn hồi  $k = 270 \, \text{N/m}$. Từ vị trí cân bằng người này được kéo thêm  $2 \, \text{m}$ so với vị trí cân bằng và thả cho hệ dao động điều hòa. Chọn trục tọa độ  $Ox$ theo phương thẳng đứng, gốc  $O$ tại vị trí cân bằng của hệ, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc hệ bắt đầu dao động. Phương trình li độ của hệ được viết như sau: