Cho phương trình $\left( 3 . x^{\left(\text{log}\right)_{2} x - \left(\text{log}\right)_{2} 3} - x \right) . \sqrt{\left(10\right)^{x} - m} = 0$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m \in \left[ - 9 ; + \infty \right) \cap \mathbb{Z}$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của $S$ bằng

Cho hệ phương trinh $\left{ 4^{x - y} - 2^{2 y} + x - 2 y = 0 \\ 4^{x} + 1 = \left(\right. m^{2} + 2 \right) \sqrt{1 - y^{2}} . 4^{y}$, $m$ là tham số. Gọi $S$là tập giá trị $m$nguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập

Trong không gian $O x y z$ cho mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A \left( 0 ; 0 ; - 4 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $a x + b y - z + c = 0$, khi đó $a - b + c$ bằng:

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $E \left( 2 ; 1 ; 3 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 3 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} + \left( z - 5 \right)^{2} = 36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là

Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A \left( 2 ; 1 ; 3 \right)$, $B \left( 6 ; 5 ; 5 \right)$. Xét khối nón $\left( N \right)$ ngoại tiếp mặt cầu đường kính $A B$ có $B$ là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi $S$ là đỉnh của khối nón $\left( N \right)$. Khi thể tích khối nón $\left( N \right)$ nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh $S$ và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình $2 x + b y + c z + d = 0$. Tính $T = b + c + d$.

Cho 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là ${\mathrm{x}}_1={\mathrm{A}}_1\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{\omega }\mathrm{t}+{\mathrm{\phi }}_1\right)$ (cm); ${\mathrm{x}}_2={\mathrm{A}}_2\cos \left(\mathrm{\omega }\mathrm{t}+{\mathrm{\phi }}_2\right)$ (cm) và ${\mathrm{x}}_3={\mathrm{A}}_3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{\omega }\mathrm{t}+{\mathrm{\phi }}_3\right)$ (cm). Biết ${\mathrm{A}}_1=\mathrm{1,5}{\mathrm{A}}_3;{\mathrm{\phi }}_3-{\mathrm{\phi }}_1=\mathrm{\pi }$. Gọi ${\mathrm{x}}_{12}={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2$ là phương trình dao động tổng hợp của dao động thứ nhất và dao động thứ hai; ${\mathrm{x}}_{23}={\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3$ là phương trình dao động tổng hợp của dao động thứ hai và dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc thời gian của li độ hai dao động tổng hợp trên như Hình. Giá trị của ${\mathrm{A}}_2$ là

Trên mặt nước có hai nguồn sóng đồng bộ đặt tại hai điểm A và B cách nhau $23\mathrm{c}\mathrm{m}$, dao động với phương trình là $\mathrm{u}=\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20\mathrm{\pi }\mathrm{t}$ (u tính bằng cm; t tính bằng $\mathrm{s}$). Tốc độ truyền sóng của mặt nước là $50\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Gọi $\mathrm{M}$ là điểm ở mặt nước, gần $\mathrm{A}$ nhất sao cho phần tử nước tại $\mathrm{M}$ dao động với biên độ cực đại và ngược pha với các nguồn. Khoảng cách từ $\mathrm{M}$ tới $\mathrm{A}\mathrm{B}$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

Ở mặt chất lỏng có hai nguồn sóng A, B cách nhau 18 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình $u_{A} = u_{B} = A cos50 \pi t \left(   \text{cm} \right)$ (với t tính bằng giây). Tốc độ truyền sóng là 2 m/s. Gọi O là một cực đại trên AB và gần với trung điểm của AB nhất. Điểm M ở mặt chất lỏng nằm trên vân cực đại qua O và gần O nhất sao cho phần tử chất lỏng tại M dao động ngược pha với phần tử tại O. Khoảng cách MO gần nhất với giá trị nào sau đây?

Ở mặt chất lỏng có hai nguồn sóng $A,B$ cách nhau $18\mathrm{c}\mathrm{m}$, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình $u_A=u_B=a\cos 50\pi t\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$ (với $t$ tính bằng $s$). Tốc độ truyền sóng ở mặt chất lỏng là $v=2\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Gọi $O$ là một cực đại trên $AB$ và gần với trung điểm của $AB$ nhất, điểm $M$ ở mặt chất lỏng nằm trên vân cực đại qua $O$ và gần $O$ nhất sao cho phần tử chất lỏng tại $M$ dao động ngược pha với phần tử tại $O$. Khoảng cách $MO$ là

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a .$Gọi $V_{1} , \textrm{ } V_{2} , \textrm{ } V_{3}$ lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$. Tính giá trị $P = \dfrac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}}$.