Cho phương trình $\left( 3 . x^{\left(\text{log}\right)_{2} x - \left(\text{log}\right)_{2} 3} - x \right) . \sqrt{\left(10\right)^{x} - m} = 0$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m \in \left[ - 9 ; + \infty \right) \cap \mathbb{Z}$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Số phần tử của $S$ bằng

A.  

912 .

B.  

900 .

C.  

910 .

D.  

911 .

Đáp án đúng là: D

(VDC):
Cách giải:
ĐКХĐ: $\left{\right. x > 0 \\ x \geq \left(\text{log}\right)_{10} m \left( * \right)$
Ta có: $\left( 3 . x^{\log_{2} x - \left(log\right)_{2} 3} - x \right) . \sqrt{\left(10\right)^{x} - m} = 0 \Leftrightarrow \left[ 3 . x^{\left(log\right)_{2} x - \left(log\right)_{2} 3} - x = 0 \\ \left(10\right)^{x} = m \Leftrightarrow \left[\right. 3 . x^{\left(log\right)_{2} x - \left(log\right)_{2} 3} - x = 0 \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 1 \right) \\ x = \left(log\right)_{10} m$
(1) $\Leftrightarrow x^{\left(\text{log}\right)_{x} 3} . x^{\left(\text{log}\right)_{2} x - \left(\text{log}\right)_{2} 3} - x = 0$
$\Leftrightarrow x^{\left(\text{log}\right)_{x} 3 + \left(\text{log}\right)_{2} x - \left(\text{log}\right)_{2} 3} = x$
$\Leftrightarrow \left(\text{log}\right)_{x} 3 + \left(\text{log}\right)_{2} x - \left(\text{log}\right)_{2} 3 = 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left(\text{log}\right)_{3} x} + \left(\text{log}\right)_{2} x - \left(\text{log}\right)_{2} 3 = 1$
$\Leftrightarrow 1 + \left(\text{log}\right)_{2} x . \left(\text{log}\right)_{3} x - \left(\text{log}\right)_{2} x = \left(\text{log}\right)_{3} x$
$\Leftrightarrow \left(\text{log}\right)_{2} x . \left(\text{log}\right)_{3} x - \left(\text{log}\right)_{2} x - \left(\text{log}\right)_{3} x + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left( \left(\text{log}\right)_{2} x - 1 \right) \left( \left(\text{log}\right)_{3} x - 1 \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\right. \left(\text{log}\right)_{2} x = 1 \\ \left(\text{log}\right)_{3} x = 1$
$\Leftrightarrow \left[\right. x = 2 \\ x = 3$
TH1: $m \leq 0$
Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm $x = 2 , x = 3$
Mà $m \in \mathbb{Z} , m \in \left[ - 9 ; + \infty \right) \Rightarrow m \in \left{ - 9 ; - 8 ; \ldots ; 0 \right}$
TH2: $m = 1$ thì (*) trở thành $\left{ x > 0 \\ x \geq 0 \Leftrightarrow x > 0$
Khi đó phương trình có 3 nghiệm $x = 0 , x = 2 , x = 3 \left(\right. K T M \right)$
TH3: $m > 1$ thì (*) trở thành $\left{ x > 0 \\ x \geq \left(\text{log}\right)_{10} m \Leftrightarrow x \geq \left(\text{log}\right)_{10} m$
Khi đó phương trình chắc chắn có nghiệm $x = \left(\text{log}\right)_{10} m$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình chỉ có thể nhận 1 trong 2 nghiệm $x = 2 , x = 3$
Nếu $2 > \left(\text{log}\right)_{10} m \Rightarrow 3 > \left(\text{log}\right)_{10} m$. Do đó phương trình có 3 nghiệm (loại)
Nếu $\left[\right. \left(\text{log}\right)_{10} m = 2 \\ \left(\text{log}\right)_{10} m = 3 \Leftrightarrow \left[\right. m = 100 \\ m = 1000$. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt (thỏa mãn)
Nếu $2 < \left(\text{log}\right)_{10} m \Leftrightarrow m > 100$. Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì $3 > \left(\text{log}\right)_{10} m \Leftrightarrow m < 1000$
Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left{\right. 101 ; 102 ; \ldots ; 999 \right}$
Vậy có 911 số thỏa mãn