Cho phương trình $\left(log\right)_{3} \dfrac{2 x^{2} - x + m}{x^{2} + 1} = x^{2} + x + 4 - m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ - 2022 ; 2022 \left]\right.$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu?

Cho phương trình $\left(log\right)_{3} \dfrac{2 x^{2} - x + m}{x^{2} + 1} = x^{2} + x + 4 - m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[\right. - 2022 ; 2022 \left]\right.$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu?
A. $2022$. B. $2021$. C. $2016$. D. $2019$.
Lời giải
Điều kiện: $\dfrac{2 x^{2} - x + m}{x^{2} + 1} > 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x + m > 0$.
Ta có: $\left(log\right)_{3} \dfrac{2 x^{2} - x + m}{x^{2} + 1} = x^{2} + x + 4 - m$
$\Leftrightarrow \left(log\right)_{3} \left(\right. 2 x^{2} - x + m \right) - \left(log\right)_{3} \left( x^{2} + 1 \right) = \left( 3 x^{2} + 3 \right) - \left( 2 x^{2} - x + m \right) + 1$
$\Leftrightarrow \left(log\right)_{3} \left( 2 x^{2} - x + m \right) + \left( 2 x^{2} - x + m \right) = \left(log\right)_{3} \left( x^{2} + 1 \right) + 1 + \left( 3 x^{2} + 3 \right)$
$\Leftrightarrow \left(log\right)_{3} \left( 2 x^{2} - x + m \right) + \left( 2 x^{2} - x + m \right) = \left(log\right)_{3} \left( 3 x^{2} + 3 \right) + \left( 3 x^{2} + 3 \right)$, $\left( \star \right)$
Xét hàm số: $f \left( t \right) = \left(log\right)_{3} t + t$ với $t > 0$.
Ta có: $f^{'} \left( t \right) = \dfrac{1}{t ln3} + 1 > 0 , \forall t > 0$.
$\Rightarrow$ Hàm số $f \left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$.
Khi đó: $\left( \star \right) \Leftrightarrow f \left( 2 x^{2} - x + m \right) = f \left( 3 x^{2} + 3 \right)$
$\Leftrightarrow 2 x^{2} - x + m = 3 x^{2} + 3$
$\Leftrightarrow x^{2} + x + 3 - m = 0$, $\left( \star \star \right)$
Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow$ phương trình $\left( \star \star \right)$ có 2 nghiệm trái dấu
$\Leftrightarrow$ $1 . \left( 3 - m \right) < 0$ $\Leftrightarrow$ $m > 3$.
Mà $m \in \mathbb{Z}$, $m \in \left[ - 2022 ; 2022 \left]\right.$ nên $m \in \left{\right. 4 ; 5 ; 6 ; . . . ; 2022 \right}$ $\Rightarrow$Có $2019$ số nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.