Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

để hàm số $f \left( x \right) = \left|\right. x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} - x + m \left|\right.$ có bốn điềm cực tiểu

thóa mẵn

. Tập

có bao nhiêu tập con?

A.  

$8 .$

B.  

$32 .$

C.  

$4 .$

D.  

$16 .$

Đáp án đúng là: A

Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

để hàm số $f \left( x \right) = \left|\right. x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} - x + m \left|\right.$ có bốn điềm cực tiểu

thóa mẵn

. Tập

có bao nhiêu tập con?
A. $8 .$B. $32 .$C. $4 .$D. $16 .$
Lời giải
Đặt $g \left( x \right) = x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} - x + m \Rightarrow g^{'} \left( x \right) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 1$
$g^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = a \approx - 1 . 96 \\ x = b \approx - 0 . 098 \\ x = c \approx 1 . 31 .$
Ta có bảng biến thiên

Trong đó $d \approx - 10 , 2 + m , \textrm{ } e \approx 0 . 049 + m , \textrm{ } g \approx - 4 . 69 + m .$
Để hàm số $f \left( x \right) = \left|\right. x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} - x + m \left|\right.$có 4 điểm cực tiểu điều kiện là
$\left{\right. m + 0 . 049 > 0 \\ m - 4 , 69 < 0 \Leftrightarrow - 0 . 049 < m < 4 . 69 .$
$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} - x + m = 0 \Leftrightarrow \left(\left( x^{2} + 1 \right)\right)^{2} + \left( x^{2} + 1 \right) \left( x - 7 \right) - 2 x + m + 6 = 0$
Đặt $t = x^{2} + 1 , \left( t \geq 1 \right) .$ta được phương trình $t^{2} + t \left( x - 7 \right) - 2 x + m + 6 = 0$
$t^{2} + x \left( t - 2 \right) - 7 t + m + 6 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 7 t + m + 6 = x \left( t - 2 \right) \Rightarrow \left(\left( t^{2} - 7 t + m + 6 \right)\right)^{2} = \left( t - 1 \right) \left(\left( t - 2 \right)\right)^{2}$
Ta có $t_{1} t_{2} t_{3} t_{4} \geq 68 \Leftrightarrow \left(\left( m + 6 \right)\right)^{2} + 4 \geq 68 \Leftrightarrow \left(\left( m + 6 \right)\right)^{2} \geq 64 \Leftrightarrow \left[ m + 6 \geq 8 \\ m + 6 \leq - 8 \Leftrightarrow \left[\right. m \geq 2 \\ m \leq - 14 .$
Do $\left{\right. - 0 . 049 < m < 4 . 69 \\ m \in \mathbb{Z} \\ \left[\right. \begin{matrix}m \geq 2 \\ m \leq - 14\end{matrix} \Rightarrow m = 2 , m = 3 , m = 4 .$
Số tập con là $2^{3} = 8 .$