Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x^{2} - 6 x + 2 m}}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của tập $S$ là

A.  

$13 .$

B.  

Vô số.

C.  

$11 .$

D.  

$12 .$

Đáp án đúng là: D

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x^{2} - 6 x + 2 m}}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của tập $S$ là
A. $13 .$B. Vô số. C. $11 .$D. $12 .$
Lời giải
Điều kiện xác định $\left{ x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 6 x + 2 m > 0 \Leftrightarrow \left{\right. x \geq - 2 \\ x^{2} - 6 x + 2 m > 0$.
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - 6 x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $- 2$ $\Leftrightarrow \left{\right. \left(\Delta\right)^{'} = \left(\left(\right. - 3 \right)\right)^{2} - 2 m > 0 \\ \left( x_{1} + 2 \right) \left( x_{2} + 2 \right) > 0 \\ \left( x_{1} + 2 \right) + \left( x_{2} + 2 \right) > 0$ (1)
với $x_{1} , x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 6 x + m = 0$, theo Vi-et ta có $\left{ x_{1} + x_{2} = 6 \\ x_{1} . x_{2} = 2 m$, thay vào hệ (1) ta được
$\left{\right. m < \dfrac{9}{2} \\ 2 m + 16 > 0 \\ 10 > 0 \Leftrightarrow - 8 < m < \dfrac{9}{2}$,
vì $m \in \mathbb{Z}$ nên có 12 phần tử thỏa mãn là $\left{\right. - 7 ; - 6 ; . . . ; 3 ; 4 \right}$.