Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn \left[ - 2022 ; 2022 \left]\right. để hàm số y = ln \left(\right. x^{2} + 1 \right) - m x đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$. Số phần tử của $S$ là

A.  

$2021$.

B.  

$2022$.

C.  

$2023$.

D.  

$4045$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ - 2022 ; 2022 \left]\right.$ để hàm số $y = ln \left(\right. x^{2} + 1 \right) - m x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$. Số phần tử của $S$ là
A. $2021$. B. $2022$. C. $2023$. D. $4045$.
Lời giải
Ta có $y^{'} = \dfrac{2 x}{x^{2} + 1} - m$
Hàm số $y = ln \left( x^{2} + 1 \right) - m x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$:
$\Leftrightarrow y^{'} = \dfrac{2 x}{x^{2} + 1} - m \geq 0 , \forall x \in \left( 0 ; + \infty \right)$ $\Leftrightarrow m \leq \dfrac{2 x}{x^{2} + 1} , \forall x \in \left( 0 ; + \infty \right)$
Xét hàm số $f \left( x \right) = \dfrac{2 x}{x^{2} + 1}$, ta có $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{2 \left( x^{2} + 1 \right) - 2 x . 2 x}{\left(\left( x^{2} + 1 \right)\right)^{2}} = \dfrac{- 2 x^{2} + 2}{\left(\left( x^{2} + 1 \right)\right)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ x = 1 & \left(\right. n \right) \\ x = - 1 & \left( l \right)$.
Bảng biến thiên: