Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \left|\right. 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 m \left|\right.$ có $7$ điểm cực trị. Số phần tử của $S$là

A.  

$1$.

B.  

$3$.

C.  

$2$.

D.  

$4$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \left|\right. 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 m \left|\right.$ có $7$ điểm cực trị. Số phần tử của $S$là
A. $1$. B. $3$. C. $2$. D. $4$.
Lời giải
Xét hàm số: $f \left( x \right) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 m$, $f^{'} \left( x \right) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$
$f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 0$
Do đó hàm số $f \left( x \right) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 m$ luôn có ba diểm cực trị với mọi giá trị của tham số $m$.
Khi đó để hàm số $y = \left|\right. f \left( x \right) \left|\right.$ có $7$ điểm cực trị thì đồ thị hàm số $f \left( x \right) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 m$ phải cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ khác $- 1 ; 0 ; 2$.
Khi đó phương trình $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 m = 0$ phải có bốn nghiệm phân biệt khác $- 1 ; 0 ; 2$
Xét phương trình: $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow - 2 m = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$
Đặt $h \left( x \right) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$, $h^{'} \left( x \right) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$
$h^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 0$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $h \left( x \right) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Để $- 2 m = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ có bốn nghiệm phân biệt ta có: $- 5 < - 2 m < 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{5}{2} < m < 0$.
Vậy $S = \left{ 1 ; 2 \right}$.