Số giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[\right. - 10 \textrm{ } ; \textrm{ } 10 \left]\right.$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{\left( x - 1 \right) . \sqrt{x^{2} + 3 x}}{x^{2} + \left( m + 1 \right) x - m - 2}$ có đúng ba đường tiệm cận là

A.  

$20$.

B.  

$18$

C.  

$17$.

D.  

$19$.

Đáp án đúng là: D

Số giá trị nguyên của $m$ thuộc $\left[\right. - 10 \textrm{ } ; \textrm{ } 10 \left]\right.$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{\left( x - 1 \right) . \sqrt{x^{2} + 3 x}}{x^{2} + \left( m + 1 \right) x - m - 2}$ có đúng ba đường tiệm cận là
A. $20$. B. $18$C. $17$. D. $19$.
Lời giải
Ta có $y = \dfrac{\left( x - 1 \right) . \sqrt{x^{2} + 3 x}}{x^{2} + \left( m + 1 \right) x - m - 2} = \dfrac{\left( x - 1 \right) . \sqrt{x^{2} + 3 x}}{\left( x - 1 \right) \left( x + m + 2 \right)}$
Điều kiện $\left{\right. \left[\right. \begin{matrix}x \geq 0 \\ x \leq - 3\end{matrix} \\ x \neq 1 \\ x \neq - m - 2$
Với điều kiện trên thì $y = \dfrac{\left( x - 1 \right) . \sqrt{x^{2} + 3 x}}{x^{2} + \left( m + 1 \right) x - m - 2} = \dfrac{\left( x - 1 \right) . \sqrt{x^{2} + 3 x}}{\left( x - 1 \right) \left( x + m + 2 \right)} = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 3 x}}{x + m + 2}$
Ta có $\underset{x \rightarrow + \infty}{lim} \dfrac{\sqrt{x^{2} + 3 x}}{x + m + 2} = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\underset{x \rightarrow - \infty}{lim} \dfrac{\sqrt{x^{2} + 3 x}}{x + m + 2} = - 1 \Rightarrow y = - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì cần có thêm 1 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow \left[\right. - m - 2 \geq 0 \\ - m - 2 \leq - 3 \Leftrightarrow \left[\right. m \leq - 2 \\ m \geq 1$
Do $m \in \mathbb{Z} , \textrm{ } m \in \left[\right. - 10 ; 10 \left]\right.$ nên có $19$ giá trị nguyên.