Có bao nhiêu giá trị nguyên của  $m$ thuộc đoạn  $\left[ -8 ; 8 \right]$ để hàm số  $y = \left| x^{3} - 3 \left( m + 2 \right) x^{2} + 3 m \left( m + 4 \right) x + 5 \right|$ đồng biến trên khoảng  $\left( 1 ; 3 \right)$?

Đặt  $g \left( x \right) = x^{3} - 3 \left( m + 2 \right) x^{2} + 3 m \left( m + 4 \right) x + 5 \Rightarrow g^{'} \left( x \right) = 3 x^{2} - 6 \left( m + 2 \right) x + 3 m \left( m + 4 \right)$.
$g^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 \left( m + 2 \right) x + 3 m \left( m + 4 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = m \\ x = m + 4 \end{matrix} \right.$ Ta có  $m + 4 - m = 4$.
Để hàm số  $y = \left| x^{3} - 3 \left( m + 2 \right) x^{2} + 3 m \left( m + 4 \right) x + 5 \right|$ đồng biến trên khoảng  $\left( 1 ; 3 \right)$ điều kiện là
$\left\{ \begin{matrix} g^{'} \left( x \right) \leq 0 \\ g \left( x \right) \leq 0 \end{matrix} , \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \right. \text{ hoặc } \left\{ \begin{matrix} g^{'} \left( x \right) \geq 0 \\ g \left( x \right) \geq 0 \end{matrix} , \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \right.$.
+ Xét  $\left\{ \begin{matrix} g^{'} \left( x \right) \leq 0 \\ g \left( x \right) \leq 0 \end{matrix} , \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq 1 \\ m + 4 \geq 3 \\ g \left( 1 \right) \leq 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 \leq m \leq 1 \\ 3 m^{2} + 9 m \leq 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 \leq m \leq 1 \\ - 3 \leq m \leq 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0$.
Do  $\left\{ \begin{matrix} m \in \left[ - 8 ; 8 \right] \\ - 1 \leq m \leq 0 \\ m \in \mathbb{Z} \end{matrix} \right. \Rightarrow m = - 1 , m = 0$.
+ Xét  $\left\{ \begin{matrix} g^{'} \left( x \right) \geq 0 \\ g \left( x \right) \geq 0 \end{matrix} , \forall x \in \left( 1 ; 3 \right) \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 3 \\ m + 4 \leq 1 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 3 \\ m \leq - 3 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 m^{2} + 9 m \geq 0 \end{matrix} \right.$.
Do  $\left\{ \begin{matrix} m \in \left[ - 8 ; 8 \right] \\ \begin{matrix} m \geq 3 \\ m \leq - 3 \end{matrix} \\ m \in \mathbb{Z} \end{matrix} \right. \Rightarrow m \in \left\{ - 8 , - 7 , - 6 , - 5 , - 4 , - 3 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$.
Do đó có 14 giá trị của  $m$nguyên thuộc  $\left[ - 8 ; 8 \right]$thỏa mãn yêu cầu bài toán.