Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{4} - x^{2}$ trên đoạn $\left[\right. 0 ; \sqrt{2} \left]\right. .$

A.  

3.

B.  

1.

C.  

0.

D.  

2.

Đáp án đúng là: D

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  $y = x^{4} - x^{2}$ trên đoạn  $\left[\right. 0 ; \sqrt{2} \left]\right. .$

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  $\left[\right. 0 ; \sqrt{2} \left]\right.$, ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn trong đoạn và tại các đầu mút của đoạn.

Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số:

$y' = \dfrac{d}{dx}(x^{4} - x^{2}) = 4x^{3} - 2x.$

Để tìm các điểm tới hạn, ta giải phương trình  $y' = 0:$

$4x^{3} - 2x = 0$

Phương trình này có thể được viết lại như sau:

$2x(2x^{2} - 1) = 0$

Do đó, ta có hai nghiệm:

$x = 0$ hoặc  $2x^{2} - 1 = 0$

Giải phương trình  $2x^{2} - 1 = 0$, ta được:

$x^{2} = \dfrac{1}{2}$

Vậy:

$x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Tuy nhiên, chỉ có  $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ nằm trong đoạn  $\left[ 0 ; \sqrt{2} \right]$.

Giờ ta tính giá trị của hàm số tại các điểm  $x = 0$,  $x = \sqrt{2}$, và  $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$:

Tại  $x = 0$:

$y(0) = 0^{4} - 0^{2} = 0$

Tại  $x = \sqrt{2}$:

$y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{4} - (\sqrt{2})^{2} = 4 - 2 = 2$

Tại  $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$:

$y\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4} - \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số  $y = x^{4} - x^{2}$ trên đoạn  $\left[ 0 ; \sqrt{2} \right]$ là  $2$, đạt được tại  $x = \sqrt{2}$.