Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{2} + b^{2}$ để hàm số $f \left( x \right) = x^{4} + a . x^{3} + b x^{2} + a x + 1$ có đồ thị cắt trục hoành:

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{2} + b^{2}$ để hàm số $f \left( x \right) = x^{4} + a . x^{3} + b x^{2} + a x + 1$ có đồ thị cắt trục hoành:
A. $\dfrac{5}{6}$. B. $\dfrac{3}{4}$. C. $\dfrac{4}{5}$. D. $\dfrac{5}{7}$.
Lời giải
Xét phương trình $x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 1 = 0 \text{ } \left( 1 \right)$
Ta thấy $x = 0$không phải là nghiệm của phương trình $f \left( x \right) = 0$
Chia cả 2 vế (1) cho $x^{2}$ ta được
$x^{2} + a x + b + \dfrac{a}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} = 0 \text{ } \Leftrightarrow \left( x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} \right) + a \left( x + \dfrac{1}{x} \right) + b = 0 \text{ }$
Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t ; \text{ } \left|\right. t \left|\right. \geq 2$ ta được
$t^{2} - 2 + a t + b = 0 \Leftrightarrow \text{ }- t^{2} + 2 = a t + b \text{ }(\text{2})$
Từ đề bài suy ra phương trình $\left( 2 \right)$có nghiệm thỏa mãn $\left| t \left|\right. \geq 2$
Áp dụng BĐT Bunhia ta có $\left(\left(\right. a t + b \right)\right)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right) \left( t^{2} + 1^{2} \right)$
$\Rightarrow \left(\left( - t^{2} + 2 \right)\right)^{2} = \left(\left( a t + b \right)\right)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right) \left( t^{2} + 1^{2} \right)$
Suy ra $a^{2} + b^{2} \geq \dfrac{\left(\left( - t^{2} + 2 \right)\right)^{2}}{t^{2} + 1} = f \left( t \right)$
Ta có
$f ' \left( t \right) = \dfrac{- 4 t \left( - t^{2} + 2 \right) \left( t^{2} + 1 \right) - 2 t \left(\left( - t^{2} + 2 \right)\right)^{2}}{\left(\left( t^{2} + 1 \right)\right)^{2}} \\ = \dfrac{\left( - t^{2} + 2 \right) \left[\right. - 4 t \left( t^{2} + 1 \right) - 2 t \left( - t^{2} + 2 \right) \left]\right.}{\left(\left( t^{2} + 1 \right)\right)^{2}} \\ = \dfrac{t \left( - t^{2} + 2 \right) \left( - 2 t^{2} - 8 \right)}{\left(\left( t^{2} + 1 \right)\right)^{2}}$
$f ' \left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. \begin{matrix}t = \pm \sqrt{2} \\ t = 0\end{matrix} \\$
BBT