Tìm  $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số  $y = \left| x^{3} - 3 x + 2 m - 1 \right|$ trên đoạn  $\left[ 0 ; 2 \right]$ là nhỏ nhất. Giá trị của  $m$ thuộc khoảng nào?

Tìm  $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số  $y = \left| x^{3} - 3 x + 2 m - 1 \right|$ trên đoạn  $\left[ 0 ; 2 \right]$ là nhỏ nhất. Giá trị của  $m$ thuộc khoảng nào?
A.  $\left( - \dfrac{3}{2} ; - 1 \right)$. B.  $\left( \dfrac{2}{3} ; 2 \right)$. C.  $\left[ - 1 ; 0 \right]$. D.  $\left( 0 ; 1 \right)$.
Lời giải
Đặt  $f \left( x \right) = x^{3} - 3 x + 2 m - 1 \Rightarrow f^{'} \left( x \right) = 3 x^{2} - 3$.
Xét  $f^{'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ x = - 1 \notin \left[ 0 ; 2 \right] \\ x = 1 \in \left[ 0 ; 2 \right] \right.$.
Ta có :  $\left\{ f \left( 0 \right) = 2 m - 1 \\ f \left( 1 \right) = 2 m - 3 \\ f \left( 2 \right) = 2 m + 1 \right. \Rightarrow \left\{ \underset{\left[ 0 ; 2 \right]}{max} f \left( x \right) = 2 m + 1 , \\ \underset{\left[ 0 ; 2 \right]}{min} f \left( x \right) = 2 m - 3 \right.$
Gọi  $M = \underset{\left[ 0 ; 2 \right]}{max} \left| x^{3} - 3 x + 2 m - 1 \right|$, khi đó  $M = \max \left\{ \left| 2 m - 3 \right| , \left| 2 m + 1 \right| \right.$.
Ta có:  $2 M \geq \left| 2 m - 3 \right| + \left| 2 m + 1 \right| = \left| 3 - 2 m \right| + \left| 2 m + 1 \right| \geq \left| \left( 3 - 2 m \right) + \left( 2 m + 1 \right) \right| = 4$.
Suy ra  $M \geq 2 \Rightarrow \min M = 2$.
Dấu “  $=$” xảy ra  $\Leftrightarrow \left\{ \left| 3 - 2 m \right| = \left| 2 m + 1 \right| \\ \left( 3 - 2 m \right) \left( 2 m + 1 \right) < 0 \right.$
Ta có:  $\left| 3 - 2 m \right| = \left| 2 m + 1 \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - 2 m = 2 m + 1 \\ 3 - 2 m = - \left( 2 m + 1 \right) \end{array} \right.$
Giải hệ phương trình:  $\left\{ \begin{array}{l} 3 - 2 m = 2 m + 1 \Rightarrow 3 - 1 = 4 m \Rightarrow m = \dfrac{1}{2} \\ 3 - 2 m = - \left( 2 m + 1 \right) \Rightarrow 3 - 2 m = - 2 m - 1 \Rightarrow 3 + 1 = 4 m \Rightarrow m = 1 \end{array} \right.$
Để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của  $m$ thuộc khoảng  $\left( 0 ; 1 \right)$.