Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 m x^{2} + \left( 2 m^{2} - 1 \right) x + m \left( 1 - m^{2} \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

A.  

$m < 1$.

B.  

$m > \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$.

C.  

$1 < m < \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$.

D.  

$1 \leq m < \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 m x^{2} + \left( 2 m^{2} - 1 \right) x + m \left( 1 - m^{2} \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
A. $m < 1$. B. $m > \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$. C. $1 < m < \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$. D. $1 \leq m < \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} - 2 m x^{2} + \left( 2 m^{2} - 1 \right) x + m \left( 1 - m^{2} \right) = 0 \left( 1 \right) .$ $\Leftrightarrow \left( x - m \right) \left( x^{2} - m + m^{2} - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = m \\ x^{2} - m x + m^{2} - 1 = 0 .$
Đặt $h \left( x \right) = x^{2} - m x + m^{2} - 1 .$
Để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 m x^{2} + \left( 2 m^{2} - 1 \right) x + m \left( 1 - m^{2} \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương điều kiện là (1) có 3 nghiệm phâm biệt có hoành độ dương $\left{ m > 0 , \left(\Delta\right)_{h} > 0 \\ h \left(\right. m \right) \neq 0 \\ \dfrac{m}{2} > 0 \\ m^{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left{\right. m > 0 \\ - 3 m^{2} + 4 > 0 \\ m^{2} - 1 \neq 0 \\ m^{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left{\right. m > 0 \\ - \dfrac{2}{\sqrt{3}} < m < \dfrac{2}{\sqrt{3}} \\ \left[\right. \begin{matrix}m > 1 \\ m < - 1\end{matrix} \Leftrightarrow 1 < m < \dfrac{2}{\sqrt{3}} .$