Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$sao cho phương trình:
2^{\left( x - 1 \right)^{2}} . \left(log\right)_{2} \left( x^{2} - 2 x + 3 \right) = 4^{\left| x - m \left|\right.} . \left(log\right)_{2} \left(\right. 2 \left|\right. x - m \left|\right. + 2 \right) có đúng ba nghiệm phân biệt là:

A.  

2.

B.  

$\dfrac{3}{2} .$

C.  

0.

D.  

3.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$2^{\left( x - 1 \left(\right)\right)^{2}} . \left(log\right)_{2} \left( x^{2} - 2 x + 3 \right) = 4^{\left| x - m \left|\right.} . \left(\text{log}\right)_{2} \left(\right. 2 \left|\right. x - m \left|\right. + 2 \right)$
$\Leftrightarrow 2^{\left( x - 1 \left(\right)\right)^{2}} . \left(log\right)_{2} \left(\right. \left( x - 1 \left(\right)\right)^{2} + 2 \left.\right) = 2^{2 \left| x - m \left|\right.} . \left(\text{log}\right)_{2} \left(\right. 2 \left|\right. x - m \left|\right. + 2 \right) \left( * \right)$
Đặt $f \left( t \right) = 2^{t} \left(\text{log}\right)_{2} \left( t + 2 \right) , t \geq 0 ; f^{'} \left( t \right) = 2^{t} \text{ln} 2 . \left(\text{log}\right)_{2} \left( t + 2 \right) + 2^{t} \dfrac{1}{\left( t + 2 \right) \text{ln} 2} > 0 , \forall t \geq 0$.
Vậy hàm số $f \left( t \right) = 2^{t} \left(\text{log}\right)_{2} \left( t + 2 \right)$ đồng biến trên $\left( 0 ; + \infty \right)$.
Từ $\left( * \right)$ ta có $f \left[\right. \left( x - 1 \left(\right)\right)^{2} \left]\right. = f \left[\right. 2 \left|\right. x - m \left|\right. \left]\right. \Leftrightarrow \left( x - 1 \left(\right)\right)^{2} = 2 \left| x - m \left|\right.$.
$\Leftrightarrow \left[\right. 2 \left(\right. x - m \right) = \left( x - 1 \left(\right)\right)^{2} \\ 2 \left( x - m \right) = - \left( x - 1 \left(\right)\right)^{2}$
$\Leftrightarrow \left[\right. g \left( x \right) = x^{2} - 4 x + 1 + 2 m = 0 \left( a \right) \\ x^{2} = 2 m - 1 \left( b \right)$
Do các phương trình $\left( a \right)$ và $\left( b \right)$ là phương trình bậc hai nên để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt ta có các trường hợp sau:
+ TH1: $m = \dfrac{1}{2}$, (b) chỉ có nghiệm kép bằng 0 và (a) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 (thỏa mãn).
+ TH2: $m > \dfrac{1}{2}$, (b) có 2 nghiệm phân biệt $x = \pm \sqrt{2 m - 1}$ và (a) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng $\pm \sqrt{2 m - 1}$
$\Leftrightarrow \left{ \left(\Delta\right)^{'} > 0 \\ g \left(\right. \pm \sqrt{2 m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left{ \left(\Delta\right)^{'} > 0 \\ g \left(\right. \pm \sqrt{2 m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left{ m < \dfrac{3}{2} \\ m = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn).
+ TH3: $m > \dfrac{1}{2}$, (b) có 2 nghiệm phân biệt $x = \pm \sqrt{2 m - 1}$ và (a) có nghiệm kép khác $\pm \sqrt{2 m - 1}$.
$\Leftrightarrow \left{\right. \left(\Delta\right)^{'} = 0 \\ g \left(\right. \pm \sqrt{2 m - 1} \right) \neq 0 \Leftrightarrow \left{ m = \dfrac{3}{2} \\ m \neq 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn).
Vậy tổng các giá trị của $m$ là $\dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{3}{2} = 3$.
(Tailieuchuan.vn)