Gọi $S$là tập hợp các giá trị của tham số $m$để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left|\right. \dfrac{x^{2} - m x + 2 m}{x - 2} \left|\right.$trên đoạn $\left[\right. - 1 ; 1 \left]\right.$bằng $3$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$

A.  

$- \dfrac{8}{3}$.

B.  

$\dfrac{5}{3}$.

C.  

$5$.

D.  

$- 1$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $y = \left|\right. \dfrac{x^{2} - m x + 2 m}{x - 2} \left|\right. = \left|\right. \dfrac{x^{2}}{x - 2} - m \left|\right.$
Đặt $f \left( x \right) = \dfrac{x^{2}}{x - 2}$ta có $f \left( x \right) \in \left[ - 1 ; 0 \left]\right. , \forall x \in \left[\right. - 1 ; 1 \left]\right.$
Suy ra $\underset{\left[\right. - 1 ; 1 \left]\right.}{max} y = max \left{\right. \left|\right. - 1 - m \left|\right. ; \left|\right. - m \left|\right. \right} = max \left{ \left|\right. m + 1 \left|\right. ; \left|\right. m \left|\right. \right}$
Cách 1:
Xét đồ thị hàm số $y = \left|\right. m + 1 \left|\right.$ và $y = \left|\right. m \left|\right.$

Từ đồ thị hàm số suy ra $\underset{\left[\right. - 1 ; 1 \left]\right.}{max} y = 3 \Leftrightarrow \left[\right. m = 2 \\ m = - 3$.
Vậy tổng các giá trị các phần tử của $S$ bằng $- 1$
Cách 2:
$\underset{\left[\right. - 1 ; 1 \left]\right.}{max} y = 3 \Leftrightarrow \left[\right. \left{\right. \begin{matrix}\left|\right. m \left|\right. = 3 \\ \left|\right. m + 1 \left|\right. \leq 3\end{matrix} \\ \left{\right. \begin{matrix}\left|\right. m + 1 \left|\right. = 3 \\ \left|\right. m \left|\right. \leq 3\end{matrix} \Leftrightarrow \left[\right. m = - 3 \\ m = 2$. Vậy tổng các giá trị các phần tử của $S$ bằng $- 1$