Trong không gian

, mặt phẳng

có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $O x y z$ cho mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y + 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A \left( 0 ; 0 ; - 4 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $a x + b y - z + c = 0$, khi đó $a - b + c$ bằng:

Trong không gian $\text{Oxyz}$, mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt các trục tọa độ lần lượt tại $A \left( a ; 0 ; 0 \right) ; B \left( 0 ; b ; 0 \right) ; C \left( 0 ; 0 ; c \right)$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 2024$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn đi qua một điểm cố định $M \left( x_{0} ; y_{0} ; z_{0} \right)$. Tính $x_{0} + y_{0} + z_{0}$.

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và điểm $I \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \textrm{ } ; \textrm{ } - 3 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ và tiếp xúc $\left( P \right)$ có phương trình:

Trong không gian cho hệ trục $O x y z ;$ mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} - \dfrac{z}{6} - 1 = 0$ cắt trục $O y$ tại điểm $A$ có tọa độ:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua $A \left( 1 ; 2 ; - 1 \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = \left( 1 ; 0 ; 0 \right)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho điểm $M \left( 2 ; - 3 ; 1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right) : x + 3 y - z + 2 = 0$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình tham số là:

Trong không gian $O x y z$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right) : 4 x - 2 y - 3 z + 1 = 0$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : x + y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \textrm{ } ; 2 \right) \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; 1 \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right) : a x + b y + z + c = 0$ chứa $A \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$, khi đó biểu thức $T = a + b + c$ có giá trị bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  $\left( S \right) : \textrm{ } \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} + \left( z - 3 \right)^{2} = 1$ và điểm  $A \left( 2 ; 3 ; 4 \right)$. Xét các điểm  $M$ thuộc  $\left( S \right)$ sao cho  $A M$ luôn tiếp xúc với  $\left( S \right)$,  $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $E \left( 2 ; 1 ; 3 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 3 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} + \left( z - 5 \right)^{2} = 36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là