Cho hai con lắc lò xo nằm ngang (k1, m) và (k2, m) như hình vẽ. Trục dao động M và N cách nhau 9cm. Lò xo k1 có độ cứng 100 N/m ; chiều dài tự nhiên l1 = 35cm­. Lò xo k2 ­ ­có độ cứng 25N/m, chiều dài tự nhiên l2 = 26cm. Hai vật có khối lượng cùng bằng m. Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo k1 dãn một đoạn 3cm, lò xo k2 nén một đoạn 6cm rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà. Bỏ qua mọi ma sát. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động xấp xỉ bằng :

A.  

11cm

B.  

10cm

C.  

9cm

D.  

13cm

Đáp án đúng là: B

+ Tần số góc của vật 1 và vật 2 là : $\left\{ \begin{array}{l} {\omega _1} = \sqrt {\frac{{{k_1}}}{m}} = \frac{{10}}{{\sqrt m }}\\ {\omega _2} = \sqrt {\frac{{{k_2}}}{m}} = \frac{5}{{\sqrt m }} \end{array} \right.$

+ Lò xo k₁ có chiều dài tự nhiên l₁ = 35cm­. Lò xo k₂ ­ ­có chiều dài tự nhiên l₂ = 26cm → Vị trí cân bằng của hai lò xo cách nhau theo phương ngang 1 đoạn : 35 – 26 = 9cm

+ Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo k₁ dãn một đoạn 3cm, lò xo k₂ nén một đoạn 6cm rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà. Chọn gốc toạ độ trùng với VTCB của lò xo k_1.

→ Phương trình dao động điều hoà của hai vật :

$\to \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 3\cos ({\omega _1}t) = 3\cos (2{\omega _2}t)\\ {x_2} = - 9 + 6\cos ({\omega _2}t + \pi ) = - 9 - 6\cos ({\omega _2}t) \end{array} \right.$

→ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang trong quá trình dao động là :

$\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {3\cos (2{\omega _2}t) + 9 + 6\cos ({\omega _2}t)} \right|$

Vì :

$\begin{array}{l} \cos (2{\omega _2}t) = 2{\cos ^2}({\omega _2}t) - 1 \Rightarrow \Delta x = \left| {3(2{{\cos }^2}({\omega _2}t) - 1) + 9 + 6\cos ({\omega _2}t)} \right|\\ \to \Delta x = \left| {6{{\cos }^2}({\omega _2}t) + 6\cos ({\omega _2}t) + 6} \right| \end{array}\)</span> Đặt <span class="math-tex">\( a = \cos ({\omega _2}t) \to \Delta x = \left| {6{a^2} + 6a + 6} \right|$

Ta có: $\begin{array}{l} 6{a^2} + 6a + 6 = 6({a^2} + a + 1) = 6({(a + \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4})\\ 6({(a + \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4} \le \frac{3}{4} \to {(6{a^2} + 6a + 6)_{\min }} = \frac{3}{4}\\ \to \Delta {x_{\min }} = \frac{3}{4}cm \end{array}$

→ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là :

$\to {d_{min}} = \sqrt {M{N^2} + \Delta {x_{\min }}^2} = \sqrt {{9^2} + {{(\frac{3}{4})}^2}} = 10,06cm$