Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #11183

Cho hai mặt cầu (S1)\left( S_{1} \right) và (S2)\left( S_{2} \right) đồng tâm II, có bán kính lần lượt là R1=2R_{1} = 2 và R2=10R_{2} = \sqrt{10}. Xét tứ diện ABCDA B C D có hai đỉnh A, BA , \textrm{ } B nằm trên (S1)\left( S_{1} \right) và hai đỉnh C, DC , \textrm{ } D nằm trên (S2)\left( S_{2} \right). Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCDA B C D bằng

A.  

626 \sqrt{2}.

B.  

323 \sqrt{2}.

C.  

424 \sqrt{2}.

D.  

727 \sqrt{2}.

Đáp án đúng là: A

Cho hai mặt cầu (S1)\left( S_{1} \right) và (S2)\left( S_{2} \right) đồng tâm II, có bán kính lần lượt là R1=2R_{1} = 2 và R2=10R_{2} = \sqrt{10}. Xét tứ diện ABCDA B C D có hai đỉnh A, BA , \textrm{ } B nằm trên (S1)\left( S_{1} \right) và hai đỉnh C, DC , \textrm{ } D nằm trên (S2)\left( S_{2} \right). Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCDA B C D bằng
A. 626 \sqrt{2}. B. 323 \sqrt{2}. C. 424 \sqrt{2}. D. 727 \sqrt{2}.
Lời giải



Ta có VABCD=AB.CD.d(AB, CD).sin(AB, CD)6≤AB.CD.d(AB, CD)6V_{A B C D} = \dfrac{A B . C D . d \left( A B , \textrm{ } C D \right) . sin \left( A B , \textrm{ } C D \right)}{6} \leq \dfrac{A B . C D . d \left( A B , \textrm{ } C D \right)}{6}, khi AB⊥CDA B \bot C D (1).
Gọi H, KH , \textrm{ } K lần lượt là trung điểm của ABA B và CDC D, suy ra IH⊥AB, IK⊥CDI H \bot A B , \textrm{ } I K \bot C D.
IH=xI H = x với 0<x<20 < x < 2, ta có AB=24−x2A B = 2 \sqrt{4 - x^{2}}.
IK=yI K = y với 0<y<100 < y < \sqrt{10} ta có CD=210−y2C D = 2 \sqrt{10 - y^{2}}.
Khi đó d(AB, CD)≤HK=x+yd \left( A B , \textrm{ } C D \right) \leq H K = x + y, khi ba điểm H,I,KH , I , K thẳng hàng.
(1)⇔VABCD≤24−x2.210−y2.(x+y)6=234−x2.10−y2.((x+y))2  (2).\left( 1 \right) \Leftrightarrow V_{A B C D} \leq \dfrac{2 \sqrt{4 - x^{2}} . 2 \sqrt{10 - y^{2}} . \left( x + y \right)}{6} = \dfrac{2}{3} \sqrt{4 - x^{2}} . \sqrt{10 - y^{2}} . \sqrt{\left(\left( x + y \right)\right)^{2}} \textrm{ }\textrm{ } \left( 2 \right) .
Ta có 2((x+y))2≤3(2x2+y2)     (⋆)2 \left(\left( x + y \right)\right)^{2} \leq 3 \left( 2 x^{2} + y^{2} \right) \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( \star \right).
Thật vậy (⋆)⇔((2x−y))2≥0\left( \star \right) \Leftrightarrow \left(\left( 2 x - y \right)\right)^{2} \geq 0, đẳng thức xảy ra khi y=2xy = 2 x.
Khi đó (2)⇒VABCD≤23.32.128−2x2.10−y2.2x2+y2\left( 2 \right) \Rightarrow V_{A B C D} \leq \dfrac{2}{3} . \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} . \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{8 - 2 x^{2}} . \sqrt{10 - y^{2}} . \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}
Vì 18=(8−2x2)+(10−y2)+(2x2+y2)≥3(8−2x2)(10−y2)(2x2+y2)318 = \left( 8 - 2 x^{2} \right) + \left( 10 - y^{2} \right) + \left( 2 x^{2} + y^{2} \right) \geq 3 \sqrt[3]{\left( 8 - 2 x^{2} \right) \left( 10 - y^{2} \right) \left( 2 x^{2} + y^{2} \right)}
⇒216≥(8−2x2)(10−y2)(2x2+y2)\Rightarrow 216 \geq \left( 8 - 2 x^{2} \right) \left( 10 - y^{2} \right) \left( 2 x^{2} + y^{2} \right).
Từ đây suy ra VABCD≤23.32.216=62V_{A B C D} \leq \dfrac{2}{3} . \dfrac{\sqrt{3}}{2} . \sqrt{216} = 6 \sqrt{2}.
Vậy Vmax=62V_{m a x} = 6 \sqrt{2} khi .


 

Câu hỏi tương tự:

#11181 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z, cho hai mặt cầu (S1) :   ((x−1))2+((y−2))2+((z−3))2=36\left( S_{1} \right) \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y - 2 \right)\right)^{2} + \left(\left( z - 3 \right)\right)^{2} = 36 ; (S2) :   ((x−1))2+((y−2))2+((z−3))2=49\left( S_{2} \right) \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y - 2 \right)\right)^{2} + \left(\left( z - 3 \right)\right)^{2} = 49 và điểm A(7; 2; −5)A \left( 7 ; \textrm{ } 2 ; \textrm{ } - 5 \right). Xét đường thẳng Δ\Delta di động nhưng luôn tiếp xúc với (S1)\left( S_{1} \right) đồng thời cắt (S2)\left( S_{2} \right) tại hai điểm B,CB , C phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác ABCA B C bằng

Lượt xem: 190,171 Cập nhật lúc: 08:52 22/02/2025

#8174 THPT Quốc giaToán

Trong không gian Oxyz,O x y z , cho mặt phẳng (P):x−y+z+7=0,\left( P \right) : x - y + z + 7 = 0 , đường thẳng d:x1=y−2=z2d : \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{- 2} = \dfrac{z}{2} và mặt cầu (S):((x−1))2+y2+((z−2))2=5.\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + y^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 5 . Gọi A,  BA , \textrm{ }\textrm{ } B là hai điểm trên mặt cầu (S)\left( S \right) và AB=4;A B = 4 ; A′,  B′A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B^{'} là hai điểm nằm trên mặt phẳng (P)\left( P \right) sao cho AA′,  BB′A A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B B^{'} cùng song song với đường thẳng d.d . Giá trị lớn nhất của tổng độ dài AA′+ BB′A A^{'} + \textrm{ } B B^{'} gần nhất với giá trị nào sau đây

Lượt xem: 139,069 Cập nhật lúc: 16:49 22/02/2025

#7963 THPT Quốc giaToán

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzO x y z, cho đường thẳng d: x+22=y+1−3=z1d : \textrm{ } \dfrac{x + 2}{2} = \dfrac{y + 1}{- 3} = \dfrac{z}{1} và mặt cầu (S):(x−2)2+(y+1)2+(z+1)2=6\left( S \right) : \left( x - 2 \right)^{2} + \left( y + 1 \right)^{2} + \left( z + 1 \right)^{2} = 6. Hai mặt phẳng (P),  (Q)\left( P \right) , \textrm{ }\textrm{ } \left( Q \right) chứa dd và cùng tiếp xúc với (S)\left( S \right) lần lượt tại A, BA , \textrm{ } B. Gọi II tà tâm mặt cầu (S)\left( S \right). Giá trị cosAIB^cos \widehat{A I B} bằng

Lượt xem: 135,492 Cập nhật lúc: 22:21 22/02/2025

#11395 THPT Quốc giaToán

Cho hai mặt phẳng (P)\left( P \right)và (Q)\left( Q \right) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm OO bán kính 434 \sqrt{3} thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách hh giữa hai mặt phẳng (P)\left( P \right)và (Q)\left( Q \right) bằng:

Lượt xem: 193,757 Cập nhật lúc: 17:49 22/02/2025

#8777 THPT Quốc giaToán

Cho mặt cầu S(O;R)S \left( O ; R \right)và đường thẳng Δ\Delta. Biết Δ\Delta cắt mặt cầu S(O;R)S \left( O ; R \right)tại hai điểm A,BA , B. Gọi dd là khoảng cách từ OO đến đường thẳng Δ\Delta. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Lượt xem: 149,315 Cập nhật lúc: 12:29 22/02/2025

#11408 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCS . A B C có AB=4a,BC=32a,A B = 4 a , B C = 3 \sqrt{2} a , ABC^=45∘;SAC^=SBC^=90∘\hat{A B C} = 45 \circ ; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 \circ; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right)và (SBC)\left( S B C \right) bằng 24.\dfrac{\sqrt{2}}{4} . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

Lượt xem: 194,006 Cập nhật lúc: 18:15 21/02/2025

#7594 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z, cho hai điểm và N(−1 ; 2 ; −1)N \left( - 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \right). Mặt cầu đường kính MNM N có phương trình là

Lượt xem: 129,147 Cập nhật lúc: 14:05 19/02/2025

#8981 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z, cho hai điểm A(1 ; 1 ; 1)A \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \right) và B(1 ; −1 ; 3)B \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 \right). Phương trình mặt cầu có đường kính ABA B là

Lượt xem: 152,726 Cập nhật lúc: 17:33 22/02/2025

#8957 THPT Quốc giaToán

Trong không gian OxyzO x y z, cho hai điểm A(7 ;−2 ;2)A \left( 7 \textrm{ } ; - 2 \textrm{ } ; 2 \right) và B(1 ;2 ;4)B \left( 1 \textrm{ } ; 2 \textrm{ } ; 4 \right). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính ABA B?

Lượt xem: 152,375 Cập nhật lúc: 04:01 22/02/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Môn Toán 2023 - SỞ GD SƠN LA THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 50 phút

1,527 lượt xem 763 lượt làm bài