Cho hai mặt cầu $\left( S_{1} \right)$ và $\left( S_{2} \right)$ đồng tâm $I$, có bán kính lần lượt là $R_{1} = 2$ và $R_{2} = \sqrt{10}$. Xét tứ diện $A B C D$ có hai đỉnh $A , \textrm{ } B$ nằm trên $\left( S_{1} \right)$ và hai đỉnh $C , \textrm{ } D$ nằm trên $\left( S_{2} \right)$. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $A B C D$ bằng

Trong không gian $O x y z$, cho hai mặt cầu $\left( S_{1} \right) \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y - 2 \right)\right)^{2} + \left(\left( z - 3 \right)\right)^{2} = 36$ ; $\left( S_{2} \right) \textrm{ } : \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y - 2 \right)\right)^{2} + \left(\left( z - 3 \right)\right)^{2} = 49$ và điểm $A \left( 7 ; \textrm{ } 2 ; \textrm{ } - 5 \right)$. Xét đường thẳng $\Delta$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $\left( S_{1} \right)$ đồng thời cắt $\left( S_{2} \right)$ tại hai điểm $B , C$ phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác $A B C$ bằng

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng 4, hình trụ $\left( H \right)$ có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên $\left( S \right)$. Gọi $V_{1}$ là thể tích khối trụ $\left( H \right)$ và $V_{2}$ là thể tích của khối cầu $\left( S \right)$. Tỉ số $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng

Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $M \left(\right. 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 \right)$ và $N \left( - 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \right)$. Mặt cầu đường kính $M N$ có phương trình là

Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \right)$ và $B \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 \right)$. Phương trình mặt cầu có đường kính $A B$ là

Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A \left( 7 \textrm{ } ; - 2 \textrm{ } ; 2 \right)$ và $B \left( 1 \textrm{ } ; 2 \textrm{ } ; 4 \right)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính $A B$?

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$ song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm $O$ bán kính $4 \sqrt{3}$ thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách $h$ giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$ bằng:

Trong không gian $O x y z ,$ cho mặt phẳng $\left( P \right) : x - y + z + 7 = 0 ,$ đường thẳng $d : \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{- 2} = \dfrac{z}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + y^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 5 .$ Gọi $A , \textrm{ }\textrm{ } B$ là hai điểm trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $A B = 4 ;$ $A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B^{'}$ là hai điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $A A^{'} , \textrm{ }\textrm{ } B B^{'}$ cùng song song với đường thẳng $d .$ Giá trị lớn nhất của tổng độ dài $A A^{'} + \textrm{ } B B^{'}$ gần nhất với giá trị nào sau đây

Cho mặt cầu $S \left( O ; R \right)$và đường thẳng $\Delta$. Biết $\Delta$ cắt mặt cầu $S \left( O ; R \right)$tại hai điểm $A , B$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $\Delta$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hình chóp $S . A B C$ có $A B = 4 a , B C = 3 \sqrt{2} a ,$ $\hat{A B C} = 45 \circ ; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 \circ$; Sin góc giữa hai mặt phẳng $\left( S A B \right)$và $\left( S B C \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{4} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng