Có bao nhiêu giá trị nguyên của x \in \left[ 0 ; 2024 \left]\right. sao cho với mỗi $x$ tồn tại đúng 2 giá trị nguyên của $y$ thòa mãn 2^{x - 2 y} + 8 \leq \left(12log\right)_{2} \left(\right. x - 2 y \right)?

A.  

2024.

B.  

1.

C.  

1013.

D.  

1012.

Đáp án đúng là: C

Chọn C
Điều kiện: $x - 2 y > 0 .$Do $\left{ x \in \mathbb{Z} \\ y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x - 2 y > 1 .$
Ta có: $2^{x - 2 y} + 8 \leq \left(12log\right)_{2} \left(\right. x - 2 y \right) \Leftrightarrow 2^{x - 2 y} + 8 - \left(12log\right)_{2} \left( x - 2 y \right) \leq 0 \left( 1 \right) .$
Đặt $t = x - 2 y , \left( t > 1 \right)$, thì (1) trở thành $2^{t} + 8 - \left(12log\right)_{2} t \leq 0 .$ (2).
$f \left( t \right) = 2^{t} + 8 - \left(12log\right)_{2} t , \left( t > 1 \right) \Rightarrow f^{'} \left( t \right) = 2^{t} ln2 - \dfrac{12}{t ln2} \Rightarrow \left(f^{'}\right)^{'} \left( t \right) = 2^{t} \left( ln2 \right)^{2} + \dfrac{12}{t^{2} ln2} > 0 , \forall t > 1 .$
$f \left( t \right) = 0$không có quá 2 nghiệm. Ta có $f \left( 2 \right) = f \left( 4 \right) = 0 .$
Ta có bảng biến thiên

$f \left( t \right) \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq t \leq 4 \Rightarrow 2 \leq x - 2 y \leq 4 \Leftrightarrow \dfrac{x - 4}{2} \leq y \leq \dfrac{x - 2}{2} .$
+ Nếu $x = 2 k + 1 , \left( k \in \left(\mathbb{N}\right)^{\star} \right) \Rightarrow k - \dfrac{3}{2} \leq y \leq k - \dfrac{1}{2} .$
Trường hợp này không xảy ra vì tồn tại đúng 2 giá trị $y$nguyên.
+ Nếu $x = 2 k , \left( k \in \mathbb{N} \right) \Rightarrow k - 2 \leq y \leq k - 1 .$Trường hợp này thỏa mãn.
Do $\left{\right. x \in \left[\right. 0 ; 2024 \left]\right. \\ x \in \mathbb{Z} \\ x = 2 k \Rightarrow k \in \left[\right. 0 ; 1012 \left]\right. \Rightarrow$có 1023 giá trị $x$nguyên thỏa mãn.