Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\left(16\right)^{\left(log\right)_{3} \left|\right. cos x \left|\right.} + \left(12\right)^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} - \left(cos\right)^{2} x = 2^{- m^{2} + 6 m}$ vô nghiệm?

A.  

7.

B.  

5.

C.  

Vô số

D.  

6.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số $f \left( x \right) = \left(16\right)^{\left(log\right)_{3} \left|\right. cos x \left|\right.} + \left(12\right)^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} - \left(cos\right)^{2} x = 4^{\left(2log\right)_{3} \left|\right. cos x \left|\right.} + 4^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} 3^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} - \left(cos\right)^{2} x$
Điều kiện xác định $cos x \neq 0$
Ta có $f \left( x \right) = \left(16\right)^{\left(log\right)_{3} \left| cos x \left|\right.} + \left(12\right)^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} - \left(cos\right)^{2} x = 4^{\left(2log\right)_{3} \left|\right. cos x \left|\right.} + 4^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} 3^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} - \left(cos\right)^{2} x$
$= 4^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} + 4^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} 3^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x} - 3^{\left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x}$.
Đặt $t = \left(log\right)_{3} \left(cos\right)^{2} x$⇒t<0, khi đó bài toán trở thành:
Tìm tham số m để phương trình $4^{t} + \left(12\right)^{t} - 3^{t} = 2^{- m^{2} + 6 m}$ vô nghiệm với t<0.
Xét hàm số $g \left(\right. t \right) = 4^{t} + \left(12\right)^{t} - 3^{t}$.
Ta có $g^{'} \left( t \right) = 4^{t} ln4 + \left(12\right)^{t} ln12 - 3^{t} ln3 = 0 \Leftrightarrow \left( \dfrac{4}{3} \right)^{t} ln4 + 4^{t} ln12 = ln3 \Leftrightarrow t \approx - 1 , 677 = t_{0}$.
Dễ thấy $\left( \dfrac{4}{3} \right)^{t} ln4 + 4^{t} ln12$ là hàm đồng biến nên phương trình $g^{'} \left( t \right) = 0$ có nghiệm duy nhất.
Bảng biến thiên:

Do phương trình $4^{t} + \left(12\right)^{t} - 3^{t} = 2^{- m^{2} + 6 m}$ có vế phải $2^{- m^{2} + 6 m} > 0$ nên để phương trình $4^{t} + \left(12\right)^{t} - 3^{t} = 2^{- m^{2} + 6 m}$ vô nghiệm thì $2^{- m^{2} + 6 m} \geq 1 \Leftrightarrow - m^{2} + 6 m \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 6$.