Xét các số thực $x , y$ sao cho

luôn đúng với mọi

. Hỏi có tối đa bao nhiêu giá trị nguyên cuả biểu thức

?

A.  

$139 .$

B.  

$141 .$

C.  

$140 .$

D.  

$138 .$

Đáp án đúng là: B

Xét các số thực $x , y$ sao cho

luôn đúng với mọi

. Hỏi có tối đa bao nhiêu giá trị nguyên cuả biểu thức

?
A. $139 .$B. $141 .$C. $140 .$D. $138 .$
Lời giải
$\left(4log\right)_{3} a^{\left(\right. log , a - 2 x + 2 \right)} - \left( y^{2} - 25 \right) \left(log\right)_{\sqrt{3}} 4 \geq 0 \Leftrightarrow 4 \left( \left(log\right)_{2} a - 2 x + 2 \right) \left(log\right)_{3} a - 4 \left( y^{2} - 25 \right) \left(log\right)_{3} 2 \geq 0$
$\left( \left(log\right)_{2} a - 2 x + 2 \right) \left(log\right)_{2} a - \left( y^{2} - 25 \right) \geq 0 .$
Đặt $t = \left(log\right)_{2} a$. Do

nên $t \in \mathbb{R} .$
Ta được phương trình $\left( t - 2 x + 2 \right) t - \left( y^{2} - 25 \right) \geq 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 \left( x - 1 \right) t + 25 - y^{2} \geq 0 .$
Để bất phương trình $t^{2} - 2 \left( x - 1 \right) t + 25 - y^{2} \geq 0$luôn đúng với $\forall t \Rightarrow \left(\Delta\right)^{'} \leq 0 \Rightarrow \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + y^{2} \leq 25 .$
$F = x^{2} + y^{2} - 2 x - 14 y + 51 \Leftrightarrow \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y - 7 \right)\right)^{2} = F - 1 \left( F > 1 \right) .$
Hình tròn $\left( C \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + y^{2} \leq 25$có tâm $I \left( 1 ; 0 \right) , B K \textrm{ } R = 5 .$
Hình tròn $\left( C_{1} \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y - 7 \right)\right)^{2} = F - 1 \left( F > 1 \right) .$có tâm $I_{1} \left( 1 ; 7 \right) , B K \textrm{ } R_{1} = \sqrt{F - 1} .$
Ta có $\overset{\rightarrow}{I I_{1}} = \left( 0 ; 7 \right) \Rightarrow I I_{1} = 7 .$
Để tồn tại $x , y$thì đường tròn và hình tròn phải có điểm chung diều kiện là

Hình tròn $\left|\right. R - R_{1} \left|\right. \leq I I_{1} \leq R + R_{1} \Rightarrow \left{\right. R_{1} \geq 2 \\ R_{1} \leq 12 \Rightarrow \left{\right. F - 1 \geq 4 \\ F - 1 \leq 144 \Rightarrow 5 \leq F \leq 145 .$
Vậy có tối đa $141$ giá trị nguyên.
🙢 HẾT 🙠