Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #7785

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình thang CBA^=BAD^=90∘\widehat{C B A} = \widehat{B A D} = 90 \circ, AB=BC=2aA B = B C = 2 a, AD=aA D = a. Biết rằng SA=SBS A = S B và SCD^=90∘\widehat{S C D} = 90 \circ. Cạnh bên SAS A hợp với đáy một góc 45∘45 \circ. Gọi φ\varphi là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)\left( S A B \right) và (ABCD)\left( A B C D \right). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.  

cosφ=433cos \varphi = \dfrac{4}{\sqrt{33}}.

B.  

cosφ=443cos \varphi = \dfrac{4}{\sqrt{43}}.

C.  

cosφ=431cos \varphi = \dfrac{4}{\sqrt{31}}.

D.  

cosφ=441cos \varphi = \dfrac{4}{\sqrt{41}}.

Đáp án đúng là: A



Gọi HH là hình chiếu vuông góc của SS lên mặt phẳng (ABCD)\left( A B C D \right) thì
⚫ (SA,(ABCD))=SAH^=45∘\left(\right. S A , \left( A B C D \right) \left.\right) = \widehat{S A H} = 45 \circ.
⚫ .
Gọi KK là trung điểm của ABA B thì .
Khi đó ((SAB),(ABCD)^)=SKH^\left(\right. \widehat{\left( S A B \right) , \left( A B C D \right)} \left.\right) = \widehat{S K H}.
Mặt khác, gọi FF là giao điểm của CDC D và HKH K thì FF là trung điểm CDC D vì HK//BC//ADH K // B C // A D.
ΔCDE\Delta C D E vuông tại EE (với EE là trung điểm BCB C) có CD=EC2+CD2=a5⇒FC=a52C D = \sqrt{E C^{2} + C D^{2}} = a \sqrt{5} \Rightarrow F C = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}.
Lại có CFH^=ECD^⇒cosCFH^=cosECD^=ECCD=15\widehat{C F H} = \widehat{E C D} \Rightarrow cos \widehat{C F H} = cos \widehat{E C D} = \dfrac{E C}{C D} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}.
ΔCFH\Delta C F H vuông tại CC có HF=FCcosDFH^=a52.5=5a2H F = \dfrac{F C}{cos \widehat{D F H}} = \dfrac{a \sqrt{5}}{2} . \sqrt{5} = \dfrac{5 a}{2} ⇒HK=HF+FK=3a2+5a2=4a\Rightarrow H K = H F + F K = \dfrac{3 a}{2} + \dfrac{5 a}{2} = 4 a.
ΔAHK\Delta A H K vuông tại KK có AH=HK2+AK2=a17A H = \sqrt{H K^{2} + A K^{2}} = a \sqrt{17}.
ΔSAH\Delta S A H vuông tại HH có SAH^=45∘⇒ΔSAH\widehat{S A H} = 45 \circ \Rightarrow \Delta S A H vuông cân tại HH ⇒SH=AH=a17\Rightarrow S H = A H = a \sqrt{17}.
SHKS H K vuông tại HH có SK=SH2+HK2=a33S K = \sqrt{S H^{2} + H K^{2}} = a \sqrt{33} và cosSKH^=HKSK=4aa33=433cos \widehat{S K H} = \dfrac{H K}{S K} = \dfrac{4 a}{a \sqrt{33}} = \dfrac{4}{\sqrt{33}}.


 

Câu hỏi tương tự:

#8880 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông, cạnh bên SAS A vuông góc với đáy. Biết rằng AB=a , SD=a5A B = a \textrm{ } , \textrm{ } S D = a \sqrt{5}. Góc giữa đường thẳng ACA C và mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right) thuộc khoảng nào dưới đây?

Lượt xem: 151,055 Cập nhật lúc: 10:39 18/01/2025

#7721 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S⋅ABCDS \cdot A B C D có đáy là hình thang vuông tại AA và BB. Biết AB=BC=a,AD=2aA B = B C = a , A D = 2 a. Cạnh bên SAS A vuông góc với mặt phẳng (ABCD)\left( A B C D \right) và SA=a2S A = a \sqrt{2}. Khoảng cách từ BB đến mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right) bằng

Lượt xem: 131,332 Cập nhật lúc: 03:42 16/01/2025

#7933 THPT Quốc giaToán

Cho chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình thang vuông ABCDA B C D ( ∠BAD=∠ABC=(90)@\angle B A D = \angle A B C = \left(90\right)^{@}), biết BC=AB=aB C = A B = a, AD=2aA D = 2 a. Mặt bên SADS A D là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp chóp S.ABCS . A B C.

Lượt xem: 134,941 Cập nhật lúc: 20:48 17/01/2025

#8449 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình bình hành. Hai điểm M,  NM , \textrm{ }\textrm{ } N lần lượt thuộc các đoạn thẳng ABA B và ADA D (M và N không trùng với A) sao cho 2ABAM+3ADAN=8\dfrac{2 A B}{A M} + \dfrac{3 A D}{A N} = 8. Kí hiệu V,  V1V , \textrm{ }\textrm{ } V_{1} lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCDS . A B C D và S.MBDN.S . M B D N . Giá trị lớn nhất của tỉ số V1V\dfrac{V_{1}}{V} bằng

Lượt xem: 143,721 Cập nhật lúc: 06:40 16/01/2025

#8302 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh a3a \sqrt{3}, cạnh bên SD=a6S D = a \sqrt{6} và SDS D vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SDS D và BCB C bằng

Lượt xem: 141,230 Cập nhật lúc: 13:47 16/01/2025

#7730 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh bằng 2\sqrt{2}, cạnh bên SAS A vuông góc với mặt đáy và SA=1S A = 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SBS B và ACA C bằng

Lượt xem: 131,508 Cập nhật lúc: 23:44 16/01/2025

#8958 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình chữ nhật AB=2aA B = 2 a, BC=a2B C = a \sqrt{2}, SA=aS A = a và SA⊥(ABCD)S A \bot \left( A B C D \right). Gọi MM là trung điểm SDS D. Tính tanαtan \alpha với α\alpha góc giữa hai đường thẳng SAS A và CMC M.

Lượt xem: 152,373 Cập nhật lúc: 02:04 17/01/2025

#11178 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình bình hành. Mặt bên SADS A D là tam giác đều cạnh a3a \sqrt{3}. ACDA C D là tam giác vuông tại AA có cạnh AC=aA C = a, góc giữa đường thẳng ABA B và mặt phẳng (SAD)\left( S A D \right) bằng (60)0\left(60\right)^{0}. Thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng

Lượt xem: 190,057 Cập nhật lúc: 11:14 17/01/2025

#8198 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C Dcó đáy ABCDA B C D là hình chữ nhật có AB=3aA B = 3 a, AD=aA D = a, SAS A vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=2aS A = 2 a. Gọi MM là điểm thuộc đoạn thẳng DCD C sao cho DC=3DMD C = 3 D M. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BMB M và SDS D bằng

Lượt xem: 139,407 Cập nhật lúc: 03:37 15/01/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

60 . Đề thi thử TN THPT môn Toán năm 2024 - SỞ GIÁO DỤC VŨNG TÀU - LẦN 1THPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

4,446 lượt xem 2,366 lượt làm bài