Trang chủ Hỏi & đáp THPT Quốc gia Toán Câu hỏi số #7866

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình bình hành và SA=SB=SC=aS A = S B = S C = a, hình chiếu vuông góc của SS lên mặt phẳng ABCDA B C D thuộc đoạn ACA C (không trùng với A,CA , C). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D là:

A.  

4327a3\dfrac{4 \sqrt{3}}{27} a^{3}

B.  

427a3\dfrac{4}{27} a^{3}

C.  

327a3\dfrac{\sqrt{3}}{27} a^{3}

D.  

227a3\dfrac{2}{27} a^{3}

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình bình hành và SA=SB=SC=aS A = S B = S C = a, hình chiếu vuông góc của SS lên mặt phẳng ABCDA B C D thuộc đoạn ACA C (không trùng với A,CA , C). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D là:
A. 4327a3\dfrac{4 \sqrt{3}}{27} a^{3}B. 427a3\dfrac{4}{27} a^{3}C. 327a3\dfrac{\sqrt{3}}{27} a^{3}D. 227a3\dfrac{2}{27} a^{3}
Lời giải
Chọn A



Gọi hình chiếu vuông góc của SS lên mặt phẳng ABCDA B C D là điểm OO thuộc đoạn ACA C.
SA=SB=SC⇒OA=OB=OC⇒ΔABCS A = S B = S C \Rightarrow O A = O B = O C \Rightarrow \Delta A B C vuông tại B⇒ABCDB \Rightarrow A B C D là hình chữ nhật.
Gọi hai cạnh hình chữ nhật ABCDA B C D là x,y(0<x,y<2a)x , y \left( 0 < x , y < 2 a \right).
AC=x2+y2⇒AO=x2+y22⇒SO=a2−x2+y22A C = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow A O = \dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{2} \Rightarrow S O = \sqrt{a^{2} - \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2}}.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
x2+y22≥xy⇒SO≤a2−xy2\dfrac{x^{2} + y^{2}}{2} \geq x y \Rightarrow S O \leq \sqrt{a^{2} - \dfrac{x y}{2}}.
Dấu bằng xảy ra ⇔x=y\Leftrightarrow x = y.
V=13xy.a2−x2+y22≤13xy.a2−xy2V = \dfrac{1}{3} x y . \sqrt{a^{2} - \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2}} \leq \dfrac{1}{3} x y . \sqrt{a^{2} - \dfrac{x y}{2}}.
V=13xy.a2−xy2V = \dfrac{1}{3} x y . \sqrt{a^{2} - \dfrac{x y}{2}} khi và chỉ khi x=yx = y. Khi đó, V=13x2.a2−x22V = \dfrac{1}{3} x^{2} . \sqrt{a^{2} - \dfrac{x^{2}}{2}}.
V′=13(2x.a2−x22+−x32.a2−x22)=13(4a2x−3x32.a2−x22)V^{'} = \dfrac{1}{3} \left( 2 x . \sqrt{a^{2} - \dfrac{x^{2}}{2}} + \dfrac{- x^{3}}{2 . \sqrt{a^{2} - \dfrac{x^{2}}{2}}} \right) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{4 a^{2} x - 3 x^{3}}{2 . \sqrt{a^{2} - \dfrac{x^{2}}{2}}} \right)

Bảng biến thiên



Vậy Vmax=4327a3V_{m a x} = \dfrac{4 \sqrt{3}}{27} a^{3}


 

Câu hỏi tương tự:

#8304 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình bình hành, trên cạnh SAS A lấy điểm MM và đặt SMSA=x\dfrac{S M}{S A} = x. Giá trị xx để mặt phẳng (MBC)\left( M B C \right) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là:

Lượt xem: 141,267 Cập nhật lúc: 18:20 18/01/2025

#8449 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình bình hành. Hai điểm M,  NM , \textrm{ }\textrm{ } N lần lượt thuộc các đoạn thẳng ABA B và ADA D (M và N không trùng với A) sao cho 2ABAM+3ADAN=8\dfrac{2 A B}{A M} + \dfrac{3 A D}{A N} = 8. Kí hiệu V,  V1V , \textrm{ }\textrm{ } V_{1} lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCDS . A B C D và S.MBDN.S . M B D N . Giá trị lớn nhất của tỉ số V1V\dfrac{V_{1}}{V} bằng

Lượt xem: 143,722 Cập nhật lúc: 18:35 18/01/2025

#8566 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình bình hành. Goi MM là trung điem cua cạnh SAS A. Mặt phȁng (α)\left( \alpha \right) đi qua MM và song song với mặt phȁng (SBC)\left( S B C \right) chia khối chóp S.ABCDS . A B C D thành hai phần. Tính tỉ số của thể tích phần chứa đỉnh SS và thể tích phần còn lại.

Lượt xem: 145,662 Cập nhật lúc: 11:02 18/01/2025

#8944 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCD\text{ABCD} là hình bình hành. Gọi MM là trung điểm cạnh AD\text{AD}. Gọi V1,V2V_{1} , V_{2} lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABMS . A B M và S.ABCS . A B C thì V1V2\dfrac{V_{1}}{V_{2}} bằng

Lượt xem: 152,091 Cập nhật lúc: 18:30 18/01/2025

#11178 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình bình hành. Mặt bên SADS A D là tam giác đều cạnh a3a \sqrt{3}. ACDA C D là tam giác vuông tại AA có cạnh AC=aA C = a, góc giữa đường thẳng ABA B và mặt phẳng (SAD)\left( S A D \right) bằng (60)0\left(60\right)^{0}. Thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng

Lượt xem: 190,058 Cập nhật lúc: 18:34 18/01/2025

#8615 THPT Quốc giaToán

Cho khối chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình bình hành tâm OO, biết thể tích khối chóp S.OADS . O A D bằng 10cm310 c m^{3}. Thể tích khối chóp S.ABCDS . A B C D bằng?

Lượt xem: 146,551 Cập nhật lúc: 18:20 18/01/2025

#8923 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông cạnh aa. Biết SA⊥(ABCD)S A \bot \left( A B C D \right) và SA=a3S A = a \sqrt{3}. Thể tích của khối chóp S.ABCDS . A B C D là:

Lượt xem: 151,790 Cập nhật lúc: 18:28 18/01/2025

#7524 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a,SA=2aa , S A = 2 a và SAS A vuông góc với đáy. Tính theo aa khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (SBD)\left( S B D \right).

Lượt xem: 128,005 Cập nhật lúc: 18:26 18/01/2025

#8880 THPT Quốc giaToán

Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông, cạnh bên SAS A vuông góc với đáy. Biết rằng AB=a , SD=a5A B = a \textrm{ } , \textrm{ } S D = a \sqrt{5}. Góc giữa đường thẳng ACA C và mặt phẳng (SCD)\left( S C D \right) thuộc khoảng nào dưới đây?

Lượt xem: 151,056 Cập nhật lúc: 18:30 18/01/2025


Đề thi chứa câu hỏi này:

25. Đề thi thử TN THPT môn Toán năm 2024 - THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI - LẦN 1_mGKrRc5pgl.docxTHPT Quốc giaToán

1 mã đề 50 câu hỏi 1 giờ 30 phút

4,938 lượt xem 2,611 lượt làm bài