Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z+1+i|+\left|z\right|=|z+2+2i|+|z-1-i|$. Giá trị nhỏ nhất của $|z-1+3i|$ bằng

A.  

4.

B.  

$2\sqrt{10}$.

C.  

$\sqrt{10}$.

D.  

$2\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $M\left(z\right),A(-2;-2),B(-1;-1),C(1;1),D(1;-3)$. Ta có $B,O$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $BC$. Khi đó
$\begin{array}{l}|z+1+i|+\left|z\right|=|z+2+2i|+|z-1-i|\\ \iff MB+MO=MA+MC.\left(1\right)\end{array}$
Ta có: $2\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}\Rightarrow 2MO\le MC+MB$
$2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}\Rightarrow 2MB\le MO+MA.$

\noindent Suy ra $2MO+2MB\le MA+MB+MO+MC\Rightarrow MO+MB\le MA+MC.$
Do đó $\left(1\right)$ thỏa khi và chỉ khi $M$ nằm trên đường thẳng $y=x$ và $M$ không nằm trong đoạn $AC$ ( $M$ có thể trùng $A,C$). Do $DA=\sqrt{10}$, $DC=4$, nên
suy ra $\min |z-1+3i|=\min DM=\min \{DA,DC\}=\sqrt{10}.$