Phương trình $\left(27\right)^{2 x - 3} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{x^{2} + 2}$ có tập nghiệm là

A.  

$\left\{-1;7\right\}$.

B.  

$\left\{ - 1 ; - 7 \right\}$.

C.  

$\left\{ 1 ; 7 \right\}$.

D.  

$\left\{ 1,-7 \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình  $\left(27\right)^{2 x - 3} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{x^{2} + 2}$ có tập nghiệm là

Giải thích chi tiết:

Đầu tiên, ta viết lại phương trình dưới dạng các cơ số là \(3\):

$27 = 3^3$, do đó phương trình trở thành:

$\left(3^3\right)^{2 x - 3} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{x^{2} + 2}$

Sử dụng tính chất lũy thừa, ta có:

$3^{3 \left(2 x - 3\right)} = 3^{- \left(x^{2} + 2\right)}$

Vì hai vế có cùng cơ số, ta có thể so sánh các số mũ:

$3 \left(2 x - 3\right) = - \left(x^{2} + 2\right)$

Phương trình trên có thể viết lại thành:

$6 x - 9 = - x^{2} - 2$

Chuyển tất cả các hạng tử về cùng một vế, ta có:

$x^{2} + 6 x - 7 = 0$

Giải phương trình bậc hai này, ta sử dụng công thức nghiệm:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Với  $a = 1$,  $b = 6$, và  $c = -7$, ta tính:

$x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

$x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{64}}{2}$

$x = \dfrac{-6 \pm 8}{2}$

Vậy ta có hai nghiệm:

$x_1 = \dfrac{2}{2} = 1$

$x_2 = \dfrac{-14}{2} = -7$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là:

$\left\{ 1,-7 \right\}$