Trong hệ trục tọa độ $O x y z$ cho 3 điểm $A \left( 5 \textrm{ } ; \textrm{ } - 2 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } B \left( 4 \textrm{ } ; \textrm{ } 5 ; - 2 \right)$ và $C \left( 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 ; 2 \right)$. Điểm $M$ di
chuyển trên trục $O x$. Đặt $Q = 2 \left|\right. \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left|\right. + 3 \left|\right. \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left|\right.$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a \sqrt{b}$ trong đó $a , b \in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a + b$.

A.  

$38$.

B.  

$23$.

C.  

$43$.

D.  

$18$.

Đáp án đúng là: C

Trong hệ trục tọa độ $O x y z$ cho 3 điểm $A \left( 5 \textrm{ } ; \textrm{ } - 2 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } B \left( 4 \textrm{ } ; \textrm{ } 5 ; - 2 \right)$ và $C \left( 0 \textrm{ } ; \textrm{ } 3 ; 2 \right)$. Điểm $M$ di
chuyển trên trục $O x$. Đặt $Q = 2 \left| \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left|\right. + 3 \left|\right. \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left|\right.$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a \sqrt{b}$ trong đó $a , b \in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a + b$.
A. $38$. B. $23$. C. $43$. D. $18$.
Lời giải
Ta có $Q = 2 \left|\right. \overset{\rightarrow}{M A} + \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left|\right. + 3 \left|\right. \overset{\rightarrow}{M B} + \overset{\rightarrow}{M C} \left|\right. = 2 \left|\right. 3 \overset{\rightharpoonup}{M G} + \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} \left|\right. + 3 \left|\right. 2 \overset{\rightarrow}{M I} + \overset{\rightarrow}{I B} + \overset{\rightarrow}{I C} \left|\right.$
Với $G \left(\right. 3 ; 2 ; 0 \right)$ là trọng tâm của tam giác $A B C$và $I \left( 2 ; 4 ; 0 \right)$là trung điểm $B C$, ta có:
$Q = 2 \left| 3 \overset{\rightharpoonup}{M G} \left|\right. + 3 \left|\right. 2 \overset{\rightarrow}{M I} \left|\right. = 6 \left(\right. M G + M I \right)$,
Do $G$ và $I$ nằm cùng phía so với $O x$ nên gọi $G ' \left( 3 ; - 2 ; 0 \right)$ là điểm đối xứng của $G$ qua $O x$.
Khi đó $Q = 2 \left| 3 \overset{\rightharpoonup}{M G} \left|\right. + 3 \left|\right. 2 \overset{\rightarrow}{M I} \left|\right. = 6 \left(\right. M G + M I \right) = 6 \left( M G ' + M I \right) \geq 6 G ' I = 6 \sqrt{37}$.
Đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $G ' I$ và $O x$.
---------- HẾT ----------