Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho $A \left( 1 ; 2 ; 3 \right)$ ; $B \left( 4 ; 2 ; 3 \right)$ ; $C \left( 4 ; \text{5} ; 3 \right)$. Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ làm đường tròn lớn là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, $C \left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh $A B , A C , A D$ lần lượt tại các điểm $B^{'} , C^{'} , D^{'}$ thỏa mãn $\dfrac{A B}{A B^{'}} + \dfrac{A C}{A C^{'}} + \dfrac{A D}{A D^{'}} = 4$. Biết tứ diện $A B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục hoành tại điểm $M \left( \dfrac{a}{b} ; 0 ; 0 \right) \left( a , b \in \mathbb{Z} ; b \neq 0 \right)$, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a b$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $\text{Oxyz}$, cho ba điểm $M \left( 3 ; 0 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } N \left( m ; n ; 0 \right)$, $P \left( 0 ; 0 ; p \right)$. Biết $M N = \sqrt{13} \textrm{ } , \textrm{ } \hat{M O N} = 60 \circ$, thể tích tứ diện $O M N P$ bằng $3$. Giá trị của biểu thức $A = m + 2 n^{2} + p^{2}$ bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \textrm{ } x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ và điểm $M \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0 \right)$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $A , B$phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $O A B$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho $\overset{\rightarrow}{a} = \left( 2 ; - 3 ; 3 \right)$, $\overset{\rightarrow}{b} = \left( 0 ; 2 ; - 1 \right)$, $\overset{\rightarrow}{c} = \left( 3 ; - 1 ; 5 \right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = 2 \overset{\rightarrow}{a} + 3 \overset{\rightarrow}{b} - 2 \overset{\rightarrow}{c}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d : \textrm{ } \dfrac{x + 2}{2} = \dfrac{y + 1}{- 3} = \dfrac{z}{1}$ và mặt cầu $\left( S \right) : \left( x - 2 \right)^{2} + \left( y + 1 \right)^{2} + \left( z + 1 \right)^{2} = 6$. Hai mặt phẳng $\left( P \right) , \textrm{ }\textrm{ } \left( Q \right)$ chứa $d$ và cùng tiếp xúc với $\left( S \right)$ lần lượt tại $A , \textrm{ } B$. Gọi $I$ tà tâm mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị $cos \widehat{A I B}$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\right. P \right)$ lần lượt có phương trình $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$, điểm $A \left( 2 ; - 1 ; 3 \right)$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N$ đi qua điểm $B \left( 2 ; m ; n \right)$. Tổng $m + 2 n$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 9$ và điểm $M \left( 1 ; 3 ; - 1 \right)$, biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J \left( a ; b ; c \right)$. Giá trị $T = 2 a + b + c$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho hai véctơ $\overset{\rightarrow}{u} = \left( 2 ; 3 ; - 1 \right)$ và $\overset{\rightarrow}{v} = \left( 5 ; - 4 ; m \right)$. Tìm $m$ để $\overset{\rightarrow}{u} \bot \overset{\rightarrow}{v}$.