Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho $A \left( 1 ; 2 ; 3 \right)$ ; $B \left( 4 ; 2 ; 3 \right)$ ; $C \left( 4 ; \text{5} ; 3 \right)$. Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ làm đường tròn lớn là

A.  

$9 \pi$.

B.  

$36 \pi$.

C.  

$18 \pi$.

D.  

$72 \pi$.

Đáp án đúng là: C

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho $A \left( 1 ; 2 ; 3 \right)$ ; $B \left( 4 ; 2 ; 3 \right)$ ; $C \left( 4 ; \text{5} ; 3 \right)$. Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ làm đường tròn lớn là
A. $9 \pi$. B. $36 \pi$. C. $18 \pi$. D. $72 \pi$.
Lời giải
Mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ làm đường tròn lớn nên tâm mặt cầu là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$.
Ta có $\overset{\rightarrow}{A B} \left( 3 ; 0 ; 0 \right)$, $\overset{\rightarrow}{B C} \left( 0 ; 3 ; 0 \right)$.
Vì $\overset{\rightarrow}{A B} . \overset{\rightarrow}{B C} = 0$ nên tam giác $A B C$ vuông tại $B$.
Suy ra bán kính mặt cầu là $R = \dfrac{1}{2} A C = \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$.
Vậy diện tích mặt cầu là $S = 4 \pi R^{2} = 4 \pi . \left(\left( \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \right)\right)^{2} = 18 \pi$.