Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu có phương trình $\left( x - 1 \right)^{2} + \left( y - 1 \right)^{2} + \left( z + 1 \right)^{2} = 36$ cắt trục $O z$ tại 2 điểm $A , B$. Tọa độ trung điểm của đoạn $A B$ là:

A.  

$\left( 0 ; 0 ; - 1 \right)$

B.  

$\left( 0 ; 0 ; 1 \right)$

C.  

$\left( 1 ; 1 ; 0 \right)$

D.  

$\left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$

Đáp án đúng là: A

Trong không gian  $O x y z$, cho mặt cầu có phương trình  $\left( x - 1 \right)^{2} + \left( y - 1 \right)^{2} + \left( z + 1 \right)^{2} = 36$ cắt trục  $O z$ tại 2 điểm  $A , B$. Tọa độ trung điểm của đoạn  $A B$ là:
A.  $\left( 0 ; 0 ; - 1 \right)$ B.  $\left( 0 ; 0 ; 1 \right)$ C.  $\left( 1 ; 1 ; 0 \right)$ D.  $\left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$
Lời giải
Đường thẳng  $O z$ đi qua điểm  $M \left( 0 ; 0 ; 1 \right)$ và nhận vecto  $\vec{k} = \left( 0 ; 0 ; 1 \right)$ là vecto chỉ phương nên có phương trình là:  $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$ với  $t \in \mathbb{R}$.
Tọa độ 2 điểm  $A , B$ là nghiệm của hệ phương trình:  $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases} \land \left( x - 1 \right)^{2} + \left( y - 1 \right)^{2} + \left( z + 1 \right)^{2} = 36$ đưa ra  $\begin{cases} t = - 2 + \sqrt{34} \\ t = - 2 - \sqrt{34} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = - 1 + \sqrt{34} \end{cases} \text{ và } \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = - 1 - \sqrt{34} \end{cases}$
$\Rightarrow A \left( 0 ; 0 ; - 1 + \sqrt{34} \right) ; B \left( 0 ; 0 ; - 1 - \sqrt{34} \right)$
Gọi  $I$ là trung điểm của  $A B$  $\Rightarrow I \left( 0 ; 0 ; - 1 \right)$