Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ với $A \left( 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 4 \textrm{ } ; \textrm{ } 2 \right)$, $B \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } 1 \textrm{ } ; \textrm{ } - 3 \right)$, $C \left( 3 \textrm{ } ; \textrm{ } 0 \textrm{ } ; \textrm{ } - 2 \right)$, $D \left( 2 \textrm{ } ; \textrm{ } - 5 \textrm{ } ; \textrm{ } - 1 \right)$. Điểm $G$ thoả mãn $\overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} + \overset{\rightarrow}{G D} = \overset{\rightarrow}{0}$ có toạ độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, $C \left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh $A B , A C , A D$ lần lượt tại các điểm $B^{'} , C^{'} , D^{'}$ thỏa mãn $\dfrac{A B}{A B^{'}} + \dfrac{A C}{A C^{'}} + \dfrac{A D}{A D^{'}} = 4$. Biết tứ diện $A B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục hoành tại điểm $M \left( \dfrac{a}{b} ; 0 ; 0 \right) \left( a , b \in \mathbb{Z} ; b \neq 0 \right)$, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a b$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):2y-z+3=0$ và điểm $A\left(2;0;0\right)$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $A$, vuông góc với $\left(P\right)$, cách gốc tọa độ $O$ một khoảng bằng $\frac{4}{3}$ và cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm $B$ và $C$ khác $O$. Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ $\text{Oxyz}$, cho ba điểm $M \left( 3 ; 0 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } N \left( m ; n ; 0 \right)$, $P \left( 0 ; 0 ; p \right)$. Biết $M N = \sqrt{13} \textrm{ } , \textrm{ } \hat{M O N} = 60 \circ$, thể tích tứ diện $O M N P$ bằng $3$. Giá trị của biểu thức $A = m + 2 n^{2} + p^{2}$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$, cho mặt phẳng $\left( P \right) : x + y + z = 0$và mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I \left( 0 ; 1 ; 2 \right)$ bán kính $R = 1$. Xét điểm $M$ thay đổi trên $\left( P \right)$. Khối nón có đỉnh $I$ và đường tròn đáy là đường tròn đi qua tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $\left( S \right)$. Khi $\left( N \right)$ có thể tích lớn nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình là $x + a y + b z + c = 0$. Giá trị của $a + b + c$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 9$ và điểm $M \left( 1 ; 3 ; - 1 \right)$, biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J \left( a ; b ; c \right)$. Giá trị $T = 2 a + b + c$ bằng

Trong thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn sóng $S_1$ và $S_2$ cách nhau $11\mathrm{c}\mathrm{m}$ dao động theo phương vuông góc với mặt nước với cùng phương trình ${\mathrm{u}}_1={\mathrm{u}}_2=5\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}100\pi \mathrm{t}\mathrm{}\left(\mathrm{m}\mathrm{m}\right)(t$ tính bằng $\mathrm{s})$. Tốc độ truyền sóng bằng $1\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền đi. Chọn hệ trục $xOy$ thuộc mặt phẳng mặt nước khi yên lặng, gốc O trùng với $S_1,Ox$ chứa đoạn $S_1{S}_2$. Phía trên mặt nước có một chất điểm chuyển động thẳng đều theo phương ngang với tốc độ $5\sqrt{2}\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sao cho hình chiếu P của nó xuống mặt nước chuyển động với phương trình quỹ đạo $\mathrm{y}=\mathrm{x}+2$. Trong thời gian $\mathrm{t}=2\mathrm{s}$ kể từ lúc P có tọa độ ${\mathrm{x}}_{\mathrm{P}}=0$ thì P cắt bao nhiêu vân cực đại trong vùng giao thoa sóng?

Trong không gian với hệ tọa độ  $O x y z$ cho mặt cầu  $\left( \text{S} \right) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 1 = 0$và mạt phẳng  $\left( \text{P} \right) : x + y + 2 z + 5 = 0$. Lấy điểm  $A$ di động trên  $\left( \text{S} \right)$và điểm  $B$ di động trên $\left( \text{S} \right)$sao cho  $\overset{\rightarrow}{A \text{B}}$cùng phương  $\overset{\rightarrow}{a} = \left( - 2 ; 1 ; - 1 \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn  $A B$.

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho hai điểm $A \left( 4 ; \textrm{ }\textrm{ } 2 ; \textrm{ }\textrm{ } 1 \right)$, $B \left( - 2 ; \textrm{ } - 1 ; \textrm{ } 4 \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overset{\rightarrow}{A M} = 2 \overset{\rightarrow}{M B}$.