Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ $\left( O y z \right)$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A \left( 1 ; 0 ; 0 \right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left( 0 ; - 2 ; 0 \right)$ và $C \left( 0 ; 0 ; 3 \right)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $\left( A B C \right)$?

Trong không gian với hệ trục toạ độ $\text{Oxyz}$, cho ba điểm $M \left( 3 ; 0 ; 0 \right) \textrm{ } , \textrm{ } N \left( m ; n ; 0 \right)$, $P \left( 0 ; 0 ; p \right)$. Biết $M N = \sqrt{13} \textrm{ } , \textrm{ } \hat{M O N} = 60 \circ$, thể tích tứ diện $O M N P$ bằng $3$. Giá trị của biểu thức $A = m + 2 n^{2} + p^{2}$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \left(\left( x - 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( y + 1 \right)\right)^{2} + \left(\left( z - 2 \right)\right)^{2} = 9$ và điểm $M \left( 1 ; 3 ; - 1 \right)$, biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J \left( a ; b ; c \right)$. Giá trị $T = 2 a + b + c$ bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ $O x y z$, cho mặt cầu $\left( S \right) : \textrm{ } x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ và điểm $M \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 0 \right)$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $A , B$phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $O A B$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; 1 ; 1 \right)$, $B \left( 2 ; 0 ; 2 \right)$, $C \left( - 1 ; - 1 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các cạnh $A B , A C , A D$ lần lượt tại các điểm $B^{'} , C^{'} , D^{'}$ thỏa mãn $\dfrac{A B}{A B^{'}} + \dfrac{A C}{A C^{'}} + \dfrac{A D}{A D^{'}} = 4$. Biết tứ diện $A B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục hoành tại điểm $M \left( \dfrac{a}{b} ; 0 ; 0 \right) \left( a , b \in \mathbb{Z} ; b \neq 0 \right)$, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\right. P \right)$ lần lượt có phương trình $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$, điểm $A \left( 2 ; - 1 ; 3 \right)$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N$ đi qua điểm $B \left( 2 ; m ; n \right)$. Tổng $m + 2 n$ bằng

Trong thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn sóng $S_1$ và $S_2$ cách nhau $11\mathrm{c}\mathrm{m}$ dao động theo phương vuông góc với mặt nước với cùng phương trình ${\mathrm{u}}_1={\mathrm{u}}_2=5\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}100\pi \mathrm{t}\mathrm{}\left(\mathrm{m}\mathrm{m}\right)(t$ tính bằng $\mathrm{s})$. Tốc độ truyền sóng bằng $1\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền đi. Chọn hệ trục $xOy$ thuộc mặt phẳng mặt nước khi yên lặng, gốc O trùng với $S_1,Ox$ chứa đoạn $S_1{S}_2$. Phía trên mặt nước có một chất điểm chuyển động thẳng đều theo phương ngang với tốc độ $5\sqrt{2}\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sao cho hình chiếu P của nó xuống mặt nước chuyển động với phương trình quỹ đạo $\mathrm{y}=\mathrm{x}+2$. Trong thời gian $\mathrm{t}=2\mathrm{s}$ kể từ lúc P có tọa độ ${\mathrm{x}}_{\mathrm{P}}=0$ thì P cắt bao nhiêu vân cực đại trong vùng giao thoa sóng?

Trong thí nghiệm giao thoa sóng mặt nước, 2 nguồn sóng ${\mathrm{S}}_1$ và ${\mathrm{S}}_2$ cách nhau $11\mathrm{c}\mathrm{m}$ và dao động điều hòa theo phương vuông góc với mặt nước có cùng phương trình ${\mathrm{u}}_1=$ ${\mathrm{u}}_2=5\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(100\mathrm{\pi }\mathrm{t}\right)\mathrm{m}\mathrm{m}$. Tốc độ truyền sóng $\mathrm{v}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Chọn hệ trục $\mathrm{x}\mathrm{O}\mathrm{y}$ thuộc mặt phẳng mặt nước khi yên lặng, gốc O trùng với ${\mathrm{S}}_1,\mathrm{O}\mathrm{x}$ trùng ${\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2$. Trong không gian, phía trên mặt nước có 1 chất điểm chuyển động mà hình chiếu $\left(\mathrm{P}\right)$ của nó với mặt nước chuyển động với phương trình quỹ đạo $\mathrm{y}=12-\mathrm{x}$ và có tốc độ ${\mathrm{v}}_1=5\sqrt{2}\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Trong thời gian $\mathrm{t}=2\left(\mathrm{s}\right)$ kể từ lúc $\left(\mathrm{P}\right)$ có tọa độ $\mathrm{x}=0$ thì $\left(\mathrm{P}\right)$ cắt bao nhiêu vân cực đại trong vùng giao thoa của sóng?