Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho hai véctơ $\overset{\rightarrow}{u} = \left( 2 ; 3 ; - 1 \right)$ và $\overset{\rightarrow}{v} = \left( 5 ; - 4 ; m \right)$. Tìm $m$ để $\overset{\rightarrow}{u} \bot \overset{\rightarrow}{v}$.

A.  

$m = - 2 .$

B.  

$m = 2 .$.

C.  

$m = 0 .$

D.  

$m = 4 .$

Đáp án đúng là: A

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$. Cho tứ diện $A B C D$ có điểm $A \left( 1 ; - 2 ; 3 \right)$, $B \left( 5 ; 0 ; - 1 \right)$, $C \left( - 1 ; 2 ; 0 \right)$, $D \left( 0 ; 3 ; 4 \right)$. Trên các cạnh $A B$, $A C$, $A D$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ thỏa $\dfrac{A B}{A M} + \dfrac{A C}{A N} + \dfrac{A D}{A P} = 9$ và có thể tích $A M N P$ nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( M N P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\right. P \right)$ lần lượt có phương trình $\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $x + y - 2 z + 8 = 0$, điểm $A \left( 2 ; - 1 ; 3 \right)$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N$ đi qua điểm $B \left( 2 ; m ; n \right)$. Tổng $m + 2 n$ bằng