Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z^{2} - 3 - 4 i \left|\right. = 2 \left|\right. z \left|\right.$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left|\right. z \left|\right.$. Giá trị của $M^{2} + m^{2}$ bằng

A.  

28.

B.  

$18 + 4 \sqrt{6}$.

C.  

14.

D.  

$11 + 4 \sqrt{6}$.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
$2 \left|\right. z \left|\right. = \left|\right. z^{2} - 3 - 4 i \left|\right. \geq \left|\right. \left|\right. z^{2} \left|\right. - \left|\right. 3 + 4 i \left|\right. \left|\right. = \left|\right. \left(\left|\right. z \left|\right.\right)^{2} - 5 \left|\right.$ (vì $\left|\right. z^{2} \left|\right. = \left(\left|\right. z \left|\right.\right)^{2}$). Dấu “=” xảy ra khi $z^{2} = k \left(\right. - 3 - 4 i \right)$.
Suy ra $4 \left(\left| z \left|\right.\right)^{2} \geq \left(\right. \left|\right. z \left|\right. - 5 \right)^{2} \Leftrightarrow \left(\left|\right. z \left|\right.\right)^{4} - 14 \left(\left|\right. z \left|\right.\right)^{2} + 25 \leq 0 \Leftrightarrow 7 - 2 \sqrt{6} \leq \left(\left|\right. z \left|\right.\right)^{2} \leq 7 + 2 \sqrt{6}$.
$\Rightarrow \sqrt{6} - 1 \leq \left|\right. z \left|\right. \leq \sqrt{6} + 1$
Do đó, ta có $M = 1 + \sqrt{6}$ và $m = \sqrt{6} - 1$.
Vậy $M^{2} + m^{2} = 14$.